2011 USAMO

2011년 4월 27일~28일.

1. a,b,c는 양의 실수로 a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \leq 4를 만족한다. 이 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sum_{cyc} \frac{ab+1}{(a+b)^2} \geq 3

2. 정오각형의 각 꼭지점에 정수가 쓰여 있어 다섯 정수의 합이 2011이라고 한다. 한 카드 게임이 있어서, 한 턴에 어느 두 인접한 꼭지점의 정수에서 m을 빼고 그들의 반대편에 있어서 이 두 꼭지점에 동시에 인접하지 않는 꼭지점의 정수에 2m을 더한다. (m이나 꼭지점 선택은 턴마다 다를 수 있다.) 만약 몇 개의 턴을 지난 후 어느 꼭지점에서 정수가 2011이 되고 나머지가 0이 되면 이 게임에서 이긴다고 한다. 처음 정수가 어떻든, 이 게임을 이길 수 있는 꼭지점이 정확히 하나 존재함을 보여라.

3. 볼록은 아니나 변들이 서로 교차하지 않는 육각형 ABCDEF에서, 어떤 대변도 평행이 아니라고 한다. 내각의 크기는 \angle A=3\angle D, \angle C = 3\angle F, $\angle E = 3\angle B$를 만족한다고 한다. 또한 AB=DE,BC=EF,CD=FA일 때, 대각선 AD,BE,CF가 한 점에서 만남을 보여라.

4. 다음 명제를 생각한다. 각각의 양의 정수 n \geq 2에 대해, 2^{2^n}2^n-1로 나눈 나머지가 4의 거듭제곱이다. 이를 증명하거나 반례를 들어라. (반증에는 증명이 포함되어야 한다.)

5. 사각형 ABCD 내부에 점 P가 있다. 점 Q_1,Q_2ABCD 내부에 놓여 있어 \angle Q_1BC=\angle ABP,\angle Q_1CB=\angle DCP, \angle Q_2AD = \angle BAP, \angle Q_2DA = \angle CDP를 만족한다고 한다. 이 때 Q_1Q_2AB가 평행함은 Q_1Q_2CD와 평행함과 동치임을 보여라.

6. A는 원소의 개수가 225개인 집합이다. 또한 A의 11개의 부분집합 A_1,\cdots,A_{11}이 있어 1 \leq i \leq 11에 대해 |A_i|=45이고, 1 \leq i < j \leq 11에 대해 |A_i \cap A_j|=9라 한다. 이 때 |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{11}| \geq 165임을 보이고, 등호가 성립하는 예를 잡아라.

2011 FKMO Day 2

4. a,b,c \geq 0a+b+c=1을 만족할 때, \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-4a+9}의 최댓값을 구하여라.

5. AC<AB<BC를 만족하는 삼각형 ABC에 대해 AC=AD인 점 DAB 위에 잡는다. 삼각형 ABC의 외접원이 각 A의 이등분선과 만나는 점을 E \neq A라 하고, CD와 만나는 점을 F \neq C라 한다. BC,DE의 교점을 K라 할 때, DK \cdot EF = AC \cdot DFCK=AC가 동치임을 보여라.

6. 가로 m칸, 세로 n칸으로 총 mn칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판이 있다. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써 넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 R에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 정수 h가 존재하면 R을 '선반'이라 하자.
(a) 직사각형 R에 속한 모든 칸에 적힌 수는 h보다 크다.
(b) 직사각형 R의 외부의 칸 중에서, R에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 h 이하이다.
선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그 때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?

2011 FKMO Day 1

3/26 토요일에 치뤄진 최종시험 1일차.

1. 다음 부정방정식의 양의 정수 해 x,y,z는 존재하지 않음을 증명하여라.
x^2y^4 - x^4y^2 + 4x^2y^2z^2 + x^2z^4 - y^2z^4=0

2. 예각삼각형 ABC의 변 BC 위에 B,C가 아닌 점 P가 주어져 있다. 삼각형 ABC의 수심 H에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 D라 하고 삼각형 ABD,ACD의 외접원을 각각 \Gamma_1,\Gamma_2라 하자. 점 D를 지나며 변 BC에 평행한 직선이 \Gamma_1,\Gamma_2와 만나는 점 중 D가 아닌 점을 X,Y라 하고 AB,AC와 만나는 점을 E,F라 하자. 두 직선 XB,YC의 교점을 Z라 하면 BP=CPZE=ZF가 동치임을 보여라.

3. 남학생 a_1,\cdots,a_n과 여학생 b_1,\cdots,b_n이 있다. 같은 성을 갖는 학생들끼리는 악수를 하지 않았고, 임의의 1\leq i \leq n에 대해 a_i,b_i는 서로 악수를 하지 않았다고 한다. 이들을 다음 조건을 만족하는 소그룹들로 분할하고자 한다.
(a) 소그룹 안의 남학생 수와 여학생 수가 같다.
(b) 소그룹 안의 임의의 두 학생을 뽑아도 서로 악수를 하지 않았다.
서로 악수를 한 학생의 쌍의 개수가 m일 때, 소그룹의 개수를 2 또는 \frac{2m}{n}+1 이하가 되도록 할 수 있음을 보여라.

1번과 2번은 빨리 풀리는데 3번이 좀 어려운 것 같다.

2011 RMM

2011년 2월 25일~26일동안 치뤄진 시험. 하루에 3문제, 4시간 반.

Day 1: 2/25

1. f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}가 존재하여 f \circ g는 강감소하고 g \circ f가 강증가하게 할 수 있음을 보여라.

2. 다음 조건들을 만족하는 실수 계수 다항식이 존재하게 하는 양의 정수 n들을 모두 구하여라.
(1) 각각의 정수 k에 대해, f(k)가 정수임과 kn의 배수가 아님이 동치이다.
(2) f의 차수가 n보다 작다.

3. 삼각형 ABC는 원 w에 내접하고 있다. 움직이는 직선 l이 변 BC와 평행하며 선분 AB,ACD,E에서 만난다고 한다. 또한 w와는 K,L에서 만나며 DK,E 사이에 놓인다고 한다. 원 \gamma_1은 선분 KD,BDw에 접하며, \gamma_2는 선분 LE,CEw에 접한다. l이 움직일 때 \gamma_1,\gamma_2의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.

Day 2: 2/26

4. 주어진 양의 정수 n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}에 대해, n의 소인수의 개수를 중복하며 센 숫자 \sum_{i=1}^s \alpha_i\Omega(n)으로 정의하자. \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}으로 정의하자. (예를 들어 \lambda(12)=\lambda(2^2 \cdot 3^1) = (-1)^{2+1}=-1이다.)
이 때 다음을 증명하여라:
i) \lambda(n)=\lambda(n+1)=+1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.
ii) \lambda(n)=\lambda(n+1)=-1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.

5. 모든 n \geq 3에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 서로 다른 n개의 점들 X_1,\cdots,X_n의 위치를 모두 구하여라: 임의의 서로 다른 두 점 X_i,X_j에 대해 \{1,2,\cdots,n\}의 순열 \sigma가 존재하여 모든 1 \leq k \leq n에 대해 d(X_i,X_k)=d(X_j,X_{\sigma(k)})가 성립한다. (d(X,Y)는 두 점 X,Y 사이의 거리이다.)

6. 2011 \times 2011 모양의 칸에 숫자들 1,2,\cdots,2011^2이 한 칸에 하나씩 써 있다. 이제 왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙이고, 위쪽 변과 아래쪽 변을 붙여 토러스처럼 만들자. (토러스는 도넛의 표면과 같은 모양이다.) 어떻게 숫자들을 칸들에 써넣더라도 서로 인접한 두 칸이 있어 그들에 쓰인 수의 차이가 최소 M이 되게 하는 양의 정수 M의 최댓값을 구하여라. (두 칸 (x,y),(x',y')가 인접하는 것은 x=x'이고 y-y' \equiv \pm 1 (mod 2011)이거나 y=y'이고 x-x' \equiv \pm 1 (mod 2011)일 때이다.)

2011 JMO

오랜만입니다.

2011년 2월 11일 치뤄진 시험.

1. 예각삼각형 ABC의 변 BC의 중점이 M으로 주어져 있다. ABC의 수심 H에서 AM에 내린 수선의 발을 P라 하자. AM \cdot PM=BM^2임을 증명하여라.

2. a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)을 만족하는 자연수들 (a,n,p,q,r)을 모두 구하여라.

3. A는 일렬로 늘어놓인 N개의 칸에 한 칸당 하나씩 음 아닌 정수들을 써넣는다. A가 어떤 음 아닌 정수를 말할 때마다, B는 N개의 칸 중 하나를 택해 A가 말한 수로 대체한다고 한다. 이 과정을 되풀이하여 이 숫자들이 강증가하면 시행이 끝난다고 한다. A가 어떻게 말하든 B가 이 시행을 끝내는 것이 가능한가?

4. 임의의 실수 x,y \in \mathbb{R}에 대해 f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)를 만족하는 함수 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.

5. 평면 위에 4개의 점이 주어져 있다. 이들 중 세 개를 택해 만드는 삼각형의 내접원의 반지름들이 모두 같다고 한다. 이 때 이 삼각형들은 모두 합동임을 보여라.

HOP는 조만간 재개할 생각입니다. 그런데 저 혼자 하는 것은 조금 힘들 것 같아 한두 분 정도 도와주실 분을 찾습니다. 조만간 자세한 내용을 올리겠습니다.

HOP 잠시 휴식

제가 많이 바빠진 관계로 적어도 12월 초까진 못할 것 같습니다. ㅠ 문제는 계속 받을 수 있으니 프로포절하고픈 문제가 있으면 보내주세요. 단 이제부터 부등식 문제는 제한 들어갑니다.

HOP #4

HOP #4 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 10월 2일 ~ 2010년 10월 15일 23시 59분

HOP-14. a,b,ca+b+c \leq \frac{3}{2}를 만족하는 양의 실수일 때 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \left(a+\frac{1}{b+c}\right)^2 \geq \sum_{cyc} \left(1+\frac{a(b+1)}{a+b+c}\right)^2
Proposed by Ji Mun Kwon

HOP-15. 삼각형 ABC의 외접원과 내접원을 각각 w,w'라 하자. 외접원 위의 동점 P에서 내접원에 두 개의 접선을 그어 그 접점을 X,Z라 하고 PX,PZw와 만나는 점을 각각 Y,W라 하자. 이 때 Q=XW \cap YZ의 자취는 무엇인가?
Proposed by Yoonsuk Seo

HOP-16. 평면 위에 두 볼록다각형 A,B가 있어 BA 내부에 놓인다고 한다. 다각형 P에 대해 그 둘레의 길이를 p(P)라 하자. p(A) \geq p(B)임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-17. x,y,z는 합이 1인 음 아닌 실수이며 a,b,c는 양의 정수이다. 이 때 다음 부등식을 증명하여라.
(1-(y+z)^{bc})^a + (1-(z+x)^{ca})^b + (1-(x+y)^{ab})^c \geq 1
Proposed by Sungyoon Kim

참고 HOP-8은 Iran 2009 TST의 일반화임을 proposer가 밝혔습니다.
HOP-16은 Zuming Feng의 문제를 2차원으로 단순화한 것입니다. (추후 Result에서 더 설명)