2010 IMO #2

얼마 전에 2010년 국제 수학 올림피아드가 카자흐스탄에서 열렸다. 그 결과 한국이 4위를 차지하여 평소와 다름없는 좋은 활약을 보여주었다. 비록 개인적으로 그다지 좋다고 생각되지 않는 한 문제 때문에 아쉬운 점이 없지 않지만..

첫날 두 번째 문제인 2번 문제.

삼각형 ABC에 대해, 내심을 I라 하고 외접원을 \Gamma라 하자. 그리고 직선 AI\Gamma와 만나는 점을 D(\neq A)라 하자. 호 BDC 위의 점 E를 잡고 변 BC 위에 점 F를 잡아 \displaystyle \angle{BAF}=\angle{CAE}<\frac{1}{2}\angle{BAC}이 되도록 한다. 선분 IF의 중점을 G라 할 때, 직선 DG,EI와 원 \Gamma가 한 점에서 만남을 보여라.
– Proposed by Tai Wai Ming and Wang Chongli, Hong Kong

2번임에도 불구하고 꽤 쉬운 문제이다. 그래서 실제로 IMO에서 1,2,4번을 푼 학생들이 많았고 은메달의 커트라인은 이 세 문제를 풀었을 때 얻을 수 있는 21점이었다.

처음 문제를 볼 때 난감하게 생각할 수도 있는 점은 DGEI가 어떤 존재인지 아직 명확하지 않는다는 것이다. 허나 확실한 사실은, 이 둘이 원 \Gamma에서 만날 필요충분조건은 \angle{GDI}=\angle{IEA}이란 것이다. 즉 모든 것은 단지 이 두 각이 같음만 보이면 된다. 하지만 아직 문제는 있다. 그러면 \angle{GDI}는 어떻게 표현할까?

여기에서 방심 I_a가 등장한다. 혹시 2006년 IMO 1번을 기억하는가? 그 문제의 주요 렘마였던 다음 보조정리를 다시 활용한다.

Lemma 위와 같은 상황에서, I,B,I_a,CD가 중심이며 II_a가 지름인 원 위에 놓인다.

원래 문제로 돌아가면 \angle{GDI}=\angle{FI_aI}가 된다. 따라서 \angle{FI_aA}=\angle{IEA}임을 보이면 된다. 사실은 이것과 본 문제가 성립하는 것은 동치이다. (현재까지의 논리의 흐름에서 역이 계속 성립해왔음을 주목하자.) 그러면 \angle{FAI_a}=\angle{IAE}임을 이미 알고 있으므로, 문제가 성립함은 \triangle{FAI_a}\triangle{IAE}가 닮음임과 동치이다.

여기까지 왔으면 거의 다 끝난 셈이다. 이 두 삼각형이 닮음임을 다음 두 가지 방법으로 보이자.

(1) 반전에 익숙한 사람이라면 이 문제의 그림을 보자마자 반전을 떠올렸을 수도 있다. 왜냐하면, A를 중심으로 반전을 하면 직선 BC가 원 \Gamma로, 그리고 그 반대로 반전되고 전체 그림이 좌우대칭된 모양으로 나오며 그 때 EF의 위치로, 또 그 반대로 반전되기 때문이다. 이를 정량화하여, 이 그림을 A를 중심으로 하고 반지름이 \sqrt{bc}인 반전원에 대해 대칭한다. (a=BC,b=CA,c=AB인 비공식 올림피아드 스탠다드 표기법을 사용하자.) 그리고 좌우대칭을 한다. 그러면 BC로, 그 반대로, 또 EF로, 또 그 반대로 대응이 된다. 따라서 bc=AE \cdot AF가 된다. 또한 AI \cdot AI_a = bc임도 쉽게 확인이 가능하다. (사실 II_a로 반전되기도 하고 그 역도 성립하기 때문인데, 이를 직접적으로 보이는 것보다 계산을 하는 것이 더 편하다. AI=\frac{s-a}{\cos{\frac{A}{2}}}임과 AI_a=\frac{s}{\cos{\frac{A}{2}}}이므로 직접 계산할 수 있다. 혹은 더 간단히, \triangle{ABI}\triangle{AI_aC}가 닮음임을 보이면 된다.) 따라서 AF:AI_a=AI:AE이고 끼인각이 같아 닮음이 증명된다.

(2) 사실 반전은 조금 돌아간 결과이고, 닮음을 보이는 단계까지 왔다면 논증적으로 마무리를 지을 수 있다. 바로 \triangle{ABF}\triangle{AEC}가 닮음임을 증명하는 것이다. 그것은 \angle{BAF}=\angle{EAC}임과 \angle{ABF}=\angle{AEC}에 의해 성립한다. 따라서 AE \cdot AF = bc가 성립하고, 이 이후는 (1)의 증명과 동일하다.

이 증명들 말고도 다른 증명들은 얼마든지 많이 있을 수 있는데, 간단하면서도 논증적인 (2)와 그 변형인 (1)을 살펴보았다. 공부를 위해서라도 올림피아드의 문제는 별해를 여러 개를 찾는 것이 유익한데 한 번 다른 풀이를 찾는 것을 시도해보길 바란다.

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    • 정원식
    • July 17th, 2010

    좋은 글 감사해요 ㅎㅎ; 이 블로그 만은 도움 될꺼가타요 ㅎ

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