2010 JMO

2010년 일본 수학 올림피아드 (본선) 문제. 2010년 2월 11일 치뤄졌으며 4시간에 5문제.

1. AB \neq AC인 예각삼각형 ABC가 있어 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P,Q를 세 점 A,B,P와 세 점 A,C,Q가 동시에 이 순서대로 일직선 상이 오게 했더니 네 점 B,C,P,Q가 한 원 위에 있으며 HP=HQ가 성립한다고 한다. 이 때 H는 삼각형 APQ의 외심임을 보여라. 단, XY로 선분 XY의 길이를 표시한다고 한다.

2. k를 양의 정수, m을 홀수로 놓는다. 이 때, n^n - m2^k의 배수가 되게 하는 n이 존재함을 보여라.

3. 2010개의 섬이 있고, 그 섬들을 연결하는 2009개의 다리가 있다. 어떤 두 개의 섬에 대해서도 1개의 다리가 둘을 연결하거나 다리가 없거나 둘 중의 하나라 하고, 다리의 양 끝은 서로 다른 두 개의 섬이라 하자. 또한, 임의의 두 섬을 골라도 한 섬에서 다른 섬으로 다리를 몇 번 건넘으로써 갈 수 있다고 한다.
이제, 모든 섬이 한 통의 편지를 임의의 섬에 보낸다고 한다. (단, 자기 자신에게 편지를 보내는 것도 가능하다.) 이 때, 다음 사실이 판명되었다.
“섬 A와 섬 B가 다리로 연결되어 있으면, 섬 A의 편지의 목적지와 섬 B의 편지의 목적지는 서로 다리로 연결된 두 섬이거나, 같은 섬이다.
이 때, 다음 (1)과 (2) 중 적어도 하나가 성립함을 보여라.
(1) 자기 자신에게 편지를 보낸 섬이 존재한다.
(2) 서로 편지를 교환하고, 다리로 연결되어 있는 두 섬이 존재한다.

4. 양의 실수 x,y,z에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^2} \geq 1

5. 볼록2010각형이 있어, 어떤 세 개의 대각선에 대해서도 꼭지점 이외의 교점이 없다고 한다. 2010개의 대각선 (변은 포함하지 않는다) 으로 이루어지는, 모든 꼭지점을 정확히 1번 지나는 폐곡선을 생각한다. 이런 폐곡선이 자기 자신과 만나는 교점의 개수의 최대값을 구하여라.

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