2010 USA TST

2010년 미국 최종 선발 시험. 2010년 6월 10일~12일. 하루에 네 시간 반 3문제로 총 사흘.

1. 정수계수 다항식 P(x)P(0)=0\gcd(P(0),P(1),P(2),\cdots)=1을 만족한다고 하자. 이 때 다음을 만족시키는 양의 정수 n이 무수히 많음을 보여라.

\gcd(P(n)-P(0),P(n+1)-P(1),P(n+2)-P(2),\cdots)=n

2. abc=1인 양수 a,b,c에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{a^5 (b+2c)^2} \geq \frac{1}{3}

3. 예각 삼각형 ABC의 높이를 각각 h_a,h_b,h_c라 하자. ABC 내부의 임의의 점 P에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{cyc}\frac{PA}{h_b+h_c}\geq 1

4. 삼각형 ABC의 변 AC,BC 위에 각각 점 M,N이 놓여 있어 MNBC가 평행하다고 한다. 변 AB,CB 위에 각각 점 P,Q를 잡아 PQAC가 평행이 되도록 하자. 삼각형 CMN의 내접원이 변 AC와 점 E에서 접한다. 삼각형 BPQ의 내접원이 변 ABF에서 접한다. 직선 ENABR에서 만나고, 직선 FQACS에서 만난다. AE=AF이라면, 삼각형 AEF의 내심은 삼각형 ARS의 내접원 위에 옴을 증명하여라.

5. a_1=1이고 a_n=a_{\lfloor n/2 \rfloor}+a_{\lfloor n/3 \rfloor}+\cdots+a_{\lfloor n/n \rfloor}+1인 수열 을 생각하자. 이 때,a_n \equiv n (\text{mod }2^{2010})n이 무수히 많이 존재함을 보여라.

6. T는 1보다 큰 자연수로 이루어진 유한 집합이다. 이제 T의 부분집합 S에 대해, 임의의 t \in T에 대해 \gcd(s,t)>1s \in S가 존재하면 S를 좋은 부분집합이라 하자. (단, S는 공집합이 아니다.) 이 때 좋은 부분집합의 개수는 홀수임을 보여라.

7. 예각 삼각형 ABC의 내부에 점 P,Q가 있어 \angle PAB = \angle QAC\angle PBA = \angle QBC가 성립한다. BC 위의 점 D에 대해 \angle DPC + \angle APB=\pi 임과 \angle DQB + \angle AQC=\pi 가 동치임을 보여라.

8. m \geq n이 자연수이며 Sa_1+a_2+\cdots+a_n=m인 양의 정수쌍 (a_1,a_2,\cdots,a_n)의 집합이라 하자. 이 때, 다음 등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{S}1^{a_1}2^{a_2}\cdots n^{a_n}=\binom{n}{n}n^m-\binom{n}{n-1}(n-1)^m+\cdots+(-1)^{n-2}\binom{n}{2}2^m+(-1)^{n-1}\binom{n}{1}

9. p=6k+1이 소수이며 \binom{3k}{k}\equiv 1 (\text{mod }p)가 성립하는 양의 정수 k가 존재하는지 판명하여라.

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