2009 IMO Short-list

작년 독일 IMO의 후보 문제.

ALGEBRA

A1. 다음 조건을 만족하는 최대의 정수 k를 구하여라: 2009개의 삼각형이 주어져 있다. 임의의 삼각형에 대해 세 변을 파랑, 빨강, 하양이 하나씩 나오도록 칠한다. 이제 각각의 색깔에 대해 변의 길이들을 정렬하여 파란 변의 길이를 b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_{2009}, 빨간 변의 길이를 r_1 \leq r_2 \leq \cdots \leq c_{2009}, 하얀 변의 길이를 w_1 \leq w_2 \leq \cdots \leq w_{2009}라 하자. 이 때 k개의 j가 있어 변의 길이가 b_j,r_j,w_j인 삼각형이 존재한다.

A2. 세 양의 실수 a,b,c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c를 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{(2a+b+c)^2} \leq \frac{3}{16}

A3. 양의 정수의 집합에서 양의 정수의 집합으로 대응되는 함수 f가 임의의 x,y에 대해 x,f(y),f(y+f(x)-1)이 삼각형의 세 변의 길이가 되도록 한다. 이런 f를 모두 구하여라.

A4. ab+bc+ca \leq 3abc를 만족하는 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}} +3 \leq \sqrt{2}(\sum_{cyc}\sqrt{a+b})

A5. 실수의 집합에서 실수의 집합으로 대응되는 임의의 함수 f가 주어져 있다. 이 때 f(x-f(y))> yf(x)+x가 성립하는 실수 x,y가 존재함을 보여라.

A6. 강증가하는 수열 s_1,s_2,s_3,\cdots의 부분수열 s_{s_1},s_{s_2},\cdotss_{s_1+1},s_{s_2+1},\cdots가 등차수열이라 한다. 이 때 s_1,s_2,\cdots가 등차수열임을 보여라.

A7. 임의의 실수 x,y에 대해 다음 식이 성립하는 함수 f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.
\displaystyle f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2

COMBINATORICS

C1. 2009장의 카드가 있는데, 이 카드는 한 면은 금색이고 한 면은 검은 색이다. 이들을 일렬로, 금색 면이 앞면으로 나오도록 늘어놓는다. 두 명의 사람은 다음과 같은 시행을 번갈아가며 한다. 각 사람은 맨 왼쪽 카드가 금색 카드가 되도록 연속한 50장의 카드를 선택한 후, 이 카드들을 각각 뒤집는다. 더 이상 시행이 불가능한 시점까지 이들이 시행을 했을 때 마지막으로 시행을 한 사람이 이긴다고 한다.
(a) 이 게임은 유한 시간 내에 끝나는가?
(b) 첫 번째 사람에게 필승수가 존재하는가?

C2. 임의의 정수 n \geq 2에 대해, N(n)을 다음 조건을 만족시키는 음 아닌 정수 (a_i,b_i,c_i), i=1,\cdots,N(n)이 성립하게 하는 수의 최댓값이라 하자.
(1) 임의의 i에 대해 a_i+b_i+c_i=n
(2) i \neq j이면 a_i \neq a_j, b_i \neq b_j, c_i \neq c_j
n \geq 2에 대해 N(n)을 구하여라.

C3. e_1,...,e_{n-1}을 0,1 중에서 아무렇게나 택한다. 그리고 a_0=1, a_1=7이라 하고 (1) e_i=0이면 a_{i+1}=2a_{i-1}+3a_i, (2) e_i=1이면 a_{i+1}=3a_{i-1}+a_i가 되도록 정의하고 b_0=1, b_1=7, (1) e_{n-i}=0이면 b_{i+1}=2b_{i-1}+3b_i, (2) e_{n-i}=1이면 b_{i+1}=3b_{i-1}+b_i로 정의한다. 이 때 a_n=b_n이 성립함을 보여라.
(C3는 여기에서 풀이를 다루었다.)

C4. m \geq 1인 정수에 대해, 2^m \times 2^m 모양의 체스판을 체스판의 칸들로 이루어진 직사각형들로 분할하려 한다. 이 때, 왼쪽 밑에서 오른쪽 위로 내려가는 큰 대각선 위에 놓이는 2^m개의 칸들은 각각 길이가 1인 정사각형으로 미리 분할해놓는다. 이 때 이러한 분할들의 직사각형들의 둘레의 길이의 합의 최솟값을 구하여라.

C5. 다섯 개의 비어 있는 2리터짜리 물통이 정오각형의 각 꼭지점 위에 놓여 있다. 신데렐라와 그녀의 나쁜 계모가 다음과 같은 시행을 한다. 각 턴마다, 계모는 1리터의 물을 가까운 강에서 떠와서 다섯 개의 물통들에 임의로 나누어준다. 그러면 신데렐라는 인접한 두 개의 물통을 잘 골라서 그 물통의 물들을 강물에 버리고 다시 제자리에 되돌려 놓는다. 그리고 다음 턴이 시작된다. 계모의 목표는 물통들 중 하나라도 넘치게 만드는 것이다. 신데렐라의 목표는 그것을 막는 것이다. 나쁜 계모는 목표를 달성할 수 있을까?

C6. 999 \times 999 모양의 칸에 림프룩이란 말이 다음과 같이 움직인다. 어느 칸에 있더라도 이 말은 그에 인접한 모든 칸으로 움직일 수 있다. 단, 한 번 움직일 때마다 방향을 틀어야 한다. 즉, 연속한 두 번의 움직임은 반드시 수직이어야 한다. 림프룩의 좋은 길이란 칸들로 이루어진 수열인데 모든 칸들이 서로 다르고, 림프룩이 그 순서로 위의 조건에 맞게 움직일 수 있어야 하는 것을 뜻한다. 만약 림프룩이 좋은 길로 다 지나온 후에 한 번 더 움직여서 처음 위치로 돌아올 수 있으면 이 좋은 길을 굉장한 길이라 하자. 굉장한 길 중에서 가장 긴 길은 몇 칸을 차지하는가?

C7. 임의의 정수 n \geq 2에 대해, n의 십진법 전개에 다음 시행을 거쳐 정수 h(n)을 만든다. rn의 가장 오른쪽 끝의 자리수라 하자.
(1) 만약 r=0이면, h(n)n의 십진법 전개에서 맨 오른쪽의 0을 지워서 얻는다.
(2) 만약 1 \leq r \leq 9이면, r 이상의 자리수로 이루어진 n의 오른쪽 끝 부분 중 가장 긴 부분을 R이라 하고, 그것을 제외한 왼쪽 부분을 L이라 하자. (L은 아무 글자도 없는 공집합일 수도 있다.) 그러면 h(n)은 먼저 L을 맨 앞에 쓴 후 R-1을 두 번 써서 얻는다. 예를 들면, n=17151345543일 때 L=17151, R=345543, h(n)=17151345542345542가 된다.
임의의 정수 n \geq 2에서 시작하더라도, h를 유한번 적용시켜 마지막에 1을 만들 수 있음을 보여라.

GEOMETRY

G1. 삼각형 ABCAB=AC를 만족한다. 각 A,B의 이등분선이 변 BC,ACD,E에서 만난다. 삼각형 ADC의 내심을 K라 하고 \angle{BEK}=\frac{\pi}{4}라 한다. \angle{BAC}의 값을 구하여라.

G2. 삼각형 ABC의 외심을 O라 하자. 변 CA,AB 위에 각각 P,Q를 잡는다. 변 BP,CQ,PQ의 중점을 지나는 원 k를 잡자. 만약 직선 PQ와 원 k가 접하면 OP=OQ임을 보여라.

G3. 삼각형 ABC가 있다. 내접원이 변 AB,AC와 각각 Z,Y에서 접한다. BY,CZ의 교점을 G라 하고, 사각형 BCYRBCSZ가 평행사변형이 되도록 R,S를 잡는다. GR=GS임을 보여라.

G4. 원에 내접하는 사각형 ABCD의 대각선 AC,BDE에서 만나고 직선 AD,BCF에서 만난다. AB,CD의 중점을 각각 G,H라 하자. E,G,H를 지나는 원이 직선 EF와 점 E에서 접함을 보여라.

G5. 볼록이며 어떤 점 O에 대해 대칭인 다각형 P가 있다. 이 때 P \subset R인 평행사변형 R이 있어 \displaystyle \frac{|R|}{|P|} \leq \sqrt{2}이 되도록 할 수 있음을 보여라. 여기서 |R|,|P|는 각각 R,P의 넓이이다.

G6. 사각형 ABCD의 변 AB,CD는 평행이 아니고, AD,BC가 점 P에서 만난다. 삼각형 ABP,DCP의 외심을 각각 O_1,O_2, 수심을 각각 H_1,H_2라 하자. O_1H_1,O_2H_2의 중점을 각각 E_1,E_2라 하자. 이 때 E_1에서 CD에 내린 수선과 E_2에서 AB에 내린 수선과 H_1H_2는 한 점에서 만남을 보여라.

G7. 삼각형 ABC의 내심을 I라 하고 BIC,CIA,AIB의 내심을 각각 X,Y,Z라 하자. 삼각형 XYZ가 정삼각형이면 삼각형 ABC도 정삼각형임을 보여라.

G8. 원에 외접하는 사각형 ABCD에서 A를 지나는 직선 g가 변 BCM에서 만나고 직선 CDN에서 만난다. \triangle{ABM},\triangle{MNC},\triangle{NDA}의 내심을 각각 I_1,I_2,I_3이라 하자. 삼각형 I_1I_2I_3의 수심이 g 위에 옴을 보여라.

NUMBER THEORY

N1. 사교회에 n명이 있다. 이들은 번호 1,2,\cdots,n이 주어져 있다. 회원들은 다른 회원들에게 선물을 보내는데, 이 선물에는 그 회원이 이미 다른 회원에게서 받은 것도 포함된다. 어떤 회원이 보낸 선물을 다시 받게 되는 당혹스러운 불상사를 막기 위해, 사교회에서는 연차회의에서 다음과 같은 규칙을 발표했다.
a라는 번호를 가진 회원은 a(b-1)n의 배수여야만 b에게 선물을 보낼 수 있다.”
만약 모든 회원이 이 규칙을 따른다면, 위에서 설명한 불상사가 일어나지 않음을 보여라.

N2. 만약 N=1이거나 N이 서로 다를 필요는 없는 짝수 개의 소수의 곱으로 표현된다면 N을 균형잡힌 수라 하자. 주어진 양의 정수 a,b에 대해 다항식 PP(x)=(x+a)(x+b)로 정의하자.
(a) P(1),P(2),\cdots,P(50)이 전부 균형잡힌 수가 되는 서로 다른 양의 정수 a,b가 존재함을 보여라.
(b) 만약 모든 양의 정수 n에 대해 P(n)이 균형잡힌 수가 된다면 a=b임을 보여라.

N3. 상수함수가 아닌 함수 f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}가 있어 임의의 서로 다른 a,b에 대해 a-bf(a)-f(B)을 나눈다고 한다. 이 때 무수히 많은 소수 p가 존재하여 어떤 c에 대해 pf(c)를 나눔을 보여라.

N4. 임의의 2 \leq k \leq n-1k에 대해 a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1을 만족시키는 양의 정수 수열 a_1,a_2,\cdots,a_n이 존재하는 양의 정수 n을 모두 구하여라.

N5. P(x)는 정수계수 다항식으로 상수함수가 아니다. 이 때 임의의 n \geq 1에 대해 T^n(x)=x를 만족하는 정수 x의 개수가 P(n)이 되는 함수 T:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}가 존재하지 않음을 보여라. 단 T^n이란 Tn번 합성한 함수이다.

N6. k는 양의 정수이다. 만약 임의의 n \geq 1에 대해 a_n=\frac{a_{n-1}+n^k}{n}가 성립하는 정수 수열 a_0,a_1,\cdots가 성립하면 k-2가 3의 배수임을 보여라.

N7. a,b는 1보다 큰 서로 다른 정수이다. 이 때 (a^n-1)(b^n-1)이 완전제곱수가 아닌 양의 정수 n이 존재함을 보여라.

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    • 이병민
    • July 20th, 2010

    재미있어보이는 문제가 많군요 !

  1. G8 원에 내접하는이 아니라 원에 외접하는이에요!

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