2010 KMO 여름학교 모의고사 2차 #1

그동안 이것저것 일이 많아서 너무 오래 손을 놓고 있었다. 이번에 여름학교에 갔을 때가 마친 모의고사 보기 전이었기에 몇 문제를 propose했고 일부는 모의고사로 출제되었다. 다음은 그 중 한 문제.

예각 부등변 삼각형 ABC에 대해 A에서 BC에 내린 수선의 발을 P라 하고, BC,CA,AB의 중점을 각각 D,E,F라 하자. 그리고 P에서 DE,DF에 내린 수선의 발을 연결한 직선을 l_a라 하자. 마찬가지로 l_b,l_c를 정의하면 l_a,l_b,l_c는 한 점에서 만남을 보여라.

사실 이 문제 논증으로 풀려고 하면 의외로 어렵다. 나도 논증 풀이는 잘 모르겠다. 단지 확실한 것은 해석 기하 풀이가 길지 않게 반드시 존재하기 때문에 너무 어려운 포지션으로 나오기도 힘들다는 것이었다. 그래서 1번으로 냈는데, 별로 평균 점수는 그렇게 높지 않게 나타난 것 같다고.

당시 문제를 감수했던 L이 논증 풀이를 하나 제시하긴 했는데, 다소 복잡했던 것 같아 신경을 못 썼다. 매쓰링크에 올려보니 논증풀이가 올라오긴 왔는데 orthopole이란 개념을 쓰고 있더라. 현역 시절에도 사영기하 쪽은 하나도 안 들여다보았고 지금도 생소한 개념이라 읽기가 꺼려진다. 그래도 언젠가 한 번 봐야지..

논증 풀이 환영.

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  1. 1) 심슨라인 점기준으로 2배 확대하면 그삼각형의 수심 지남
    2) P 정의하듯이 Q,R 정의했을때 l(a)랑 QR이랑 수직 (각돌리기)
    이 두 성질 쓰면 중점삼각형의 수심(=원래삼각형의 외심)과 수심의 pedal triangle의 수심의 중점에서 만나네요

    여름학교 수료생 양희빈형이 찾은풀이에요;; 신기..

    • 서정교
    • August 21st, 2010

    앗 나도 저풀이 시험치고 양희빈 형 한테 들었는데

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