2010 RMM #3

방금 올린 2010 RMM의 3번 문제. 나름 첫날 3번 포지션인데 저거 올리고 좀 풀어보니 바로 풀렸다. 아직 내 두뇌는 열려있어!!

어떤 두 변도 평행이 아닌 볼록사각형 A_1A_2A_3A_4가 주어져 있다. 임의의 i=1,2,3,4에 대해, 원 w_i가 사각형과 외접하며 직선 A_{i-1}A_i,A_iA_{i+1},A_{i+1}A_{i+2}와 접한다고 한다. (첨자는 mod 4로 따져서 A_0=A_4,A_5=A_1,A_6=A_2가 성립한다.) w_iA_iA_{i+1}의 접점을 T_i라 하자. 이 때 직선 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 직선 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3가 한 점에서 만남과 동치임을 보여라.

먼저 A_1A_2와는 T_1에서 접하고 A_3A_4와도 접하는 원 w를 잡는다. 그 원이 A_3A_4와 접하는 점을 T_3'이라 한다. 그러면 w_1,w의 내적 닮음 중심(공통내접선의 교점이기도 하며, 이 점을 중심으로 음수배 확대변환을 하면 두 원이 서로 대응된다.)은 T_1, w_1,w_3의 외적 닮음 중심은 A_2A_3 \cap A_4A_1이며 w,w_3의 내적 닮음 중심은 두 원의 공통내접선의 교점으로 직선 A_3A_4 위에 있다. Monge-d’Alembert’s Theorem에 의해, 이 세 점은 한 직선 위에 있게 된다.

따라서 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3이 한 점에서 만난다면 T_3A_2A_3 \cap A_4A_1T_1을 연결한 직선이 A_3A_4와 만나는 점이 되는데, 이게 바로 w,w_3의 내적 닮음 중심이 된다. 따라서 w,w_3은 점 T_3에서 접해야 하고 그 역이 성립한다. 곧, A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3이 한 점에서 만나는 것과, 어떤 원이 있어 A_1A_2T_1에서, A_3A_4T_3에서 접함이 동치가 된다.

이를 식으로 표현하는 것은 간단하다. A_2A_3 \cap A_4A_1=X, A_1A_2 \cap A_3 A_4=Y라 하고 일반성을 잃지 않고 A_1X,A_4 사이에 놓이고 A_2Y,A_1 사이에 놓인다고 하자. 그러면 이 조건은 YT_1=YT_3과 동치가 되고, 이를 위해 A_1A_2=a, A_2A_3=b, A_3A_4=c, A_4A_1=d, A_1X=a_1, A_2X=a_2, A_2Y=b_1, A_3Y=b_2라 하면 a+b+2(b_1-b_2)=c+d+2(a_1-a_2)와 동치가 된다.

한 편 마찬가지로 하면 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 XT_2=XT_4와 동치가 되는데, 이것도 식으로 표현하면 a+b+2(b_1-b_2)=c+d+2(a_1-a_2)와 동치가 된다. 따라서, 둘은 동치이다.

저 Monge-d’Alembert의 정리는 의외로 유용하게 쓰인다. 2008년 KMO의 한 문제도 한 방에 해결되고..

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