2010 RMM

2010 Romanian Master of Mathematics Competition이란 올림피아드. 루마니아에서 열리는데 다른 나라들도 참가하는 대회이다. 시험은 2010년 2월 26일~27일에 열렸다. (각각 4시간 30분. IMO와 똑같음)

1. 유한 개의 소수의 집합 P에 대해, P의 원소 중 적어도 하나의 약수를 갖는 연속한 자연수의 개수의 최댓값을 m(P)이라 하자.
(i) |P| \leq m(P)임을 보이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 \min(P)>|P|임을 보여라.
(ii) m(P) < (|P|+1)(2^{|P|}-1)임을 보여라.
(|P|는 집합 P의 원소의 개수이다.)

2. 양의 정수 n에 대해, 다음 조건을 만족하는 최대의 실수 C_n을 구하여라. 임의의 주어진 n개의 실수값을 갖는 함수 f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)가 폐구간 0 \leq x\leq 1에서 정의되며, 0 \leq x_i \leq 1이며 |f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots+f_n(x_n)-x_1x_2 \cdots x_n| \geq C_n이 성립하도록 x_1,\cdots,x_n을 찾을 수 있다.

3. 어떤 두 변도 평행이 아닌 볼록사각형 A_1A_2A_3A_4가 주어져 있다. 임의의 i=1,2,3,4에 대해, 원 w_i가 사각형과 외접하며 직선 A_{i-1}A_i,A_iA_{i+1},A_{i+1}A_{i+2}와 접한다고 한다. (첨자는 mod 4로 따져서 A_0=A_4,A_5=A_1,A_6=A_2가 성립한다.) w_iA_iA_{i+1}의 접점을 T_i라 하자. 이 때 직선 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 직선 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3가 한 점에서 만남과 동치임을 보여라.

4. 다음을 만족하는 정수계수 이변수 다항식 f(x_1,x_2)와 평면 위의 두 점 A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2)가 존재하는지 판별하여라.
(i) A는 격자점이다. (즉 a_1,a_2는 정수이다.)
(ii) |a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010
(iii) A가 아닌 다른 격자점 (n_1,n_2)에 대해 f(n_1,n_2)>f(a_1,a_2)
(iv) B가 아닌 다른 점 (x_1,x_2)에 대해 f(x_1,x_2)>f(b_1,b_2)

5. 양의 정수 n이 주어져 있다. 만약 평면 위의 격자점의 집합 K에 대해 다음 조건을 만족시키면 K를 연결된 집합이라 부르자: 임의의 점 R,S \in K에 대해 양의 정수 lK의 원소의 나열 R=T_0,T_1,\cdots,T_l=S가 있어 T_iT_{i+1}과의 거리가 1이 되게 할 수 있다. 그런 집합 K에 대해, 벡터의 집합 \Delta(K)=\{ \vec{RS} | R,S \in K \}을 정의한다. 이 때 평면 위의 2n+1개의 격자점을 갖는 연결된 집합 K들에 대해 |\Delta(K)|의 최댓값을 구하여라.

6. 차수가 d \geq 2인 주어진 유리계수 다항식 f(x)에 대해, 집합 f^0(\mathbb{Q}),f^1(\mathbb{Q}),\cdotsf^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^n(\mathbb{Q}))로 정의하자. (n \geq 0) (여기서 집합 S에 대해 f(S)\{ f(x) | x \in S \}로 정의한다.)
f^{\omega}(\mathbb{Q}) = \cap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})를 모든 집합 f^n(\mathbb{Q})에 속하는 수들의 집합으로 잡는다. 이 때 f^{\omega}(\mathbb{Q})는 유한집합임을 보여라.

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  1. August 14th, 2010

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