2010 Iran NMO

2010년 이란 수학 올림피아드 (Iran National Mathematical Olympiad) 문제.

1. a,b는 두 양의 정수로 a > b이다. \gcd(a-b,ab+1)=1임과 \gcd(a+b,ab-1)=1이 알려져 있을 때. (a-b)^2+(ab+1)^2는 완전제곱수가 아님을 보여라.

2. 평면 위에 n개의 점이 있어 어떤 세 개도 일직선 위에 있진 않다고 한다. 이 때 이 점들 중 세 개를 택하여 만드는 삼각형 중 넓이가 1인 것의 개수는 \frac{2}{3}(n^2-n) 이하임을 보여라.

3. 원 W_1,W_2D,P에서 만나고 있다. 점 A,B는 각각 W_1,W_2 위의 점으로 ABW_1,W_2와 동시에 접한다고 한다. DP보다 직선 AB에 더 가깝다고 하자. 직선 AD가 원 W_2C에서 다시 만난다고 할 때, BC의 중점 M에 대해 \angle{DPM}=\angle{BDC}임을 보여라.

4. P(x)=ax^3+bx^2+cx+d는 실계수 다항식으로 \min\{d,b+d\} > max\{|{c}|,|{a+c}|\}이라 한다. P(x)는 구간 [-1,1]에서 실근을 갖지 않음을 보여라.

5. 삼각형 ABC에서 \angle{A}=\frac{\pi}{3}라 한다. AB,AC의 연장선 위에 E,F를 잡아 BE=CF=BC가 되도록 한다. 직선 EF가 삼각형 ACE의 외접원과 K에서 만난다고 하자. (단, K\neq E) 이 때 K\angle{A}의 이등분선 위에 있음을 보여라.

6. n명의 학생이 있는 한 학교에 몇 가지 특별반이 있다. 각 학생은 자신이 원하는 어떤 특별반에도 개수에 제한 없이 들어갈 수 있다. 모든 특별반은 적어도 2명의 학생이 듣고 있다. 만약 두 개의 서로 다른 특별반이 두 명 이상의 공통 학생을 가지면, 두 특별반의 학생 수는 서로 다르다고 한다. 이 때 특별반의 개수는 (n-1)^2 이하임을 보여라.

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  1. August 26th, 2010

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