2010 KMO

자고 일어나니 KMO가 끝나 있었다.

1. 양의 정수 7^{2^{20}}+7^{2^{19}}+1은 소수인 약수를 21개 이상 가짐을 보여라.

2. 양의 실수 a,b,cab+bc+ca=1을 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{a^2}} + \sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \sqrt{33}

3. 삼각형 ABC의 내접원 I가 변 BC,CA,AB와 각각 P,Q,R에서 접한다고 하자. 두 점 B,C를 지나는 원이 원 I와 점 X에서 접하고, C,A를 지나는 원이 I와 점 Y에서 접하고, A,B를 지나는 원이 점 Z에서 접할 때, 세 직선 PX,QY,RZ가 한 점에서 만남을 보여라.

4. 총 n명(n \geq 4)의 외교관들이 모여 있다. 임의의 네 외교관 A,B,C,D에 대하여, AB가 악수를 했고 BC가 악수를 했으며 CD가 악수를 했다면, 세 쌍 AC, AD, BD 중 악수를 했던 쌍이 반드시 존재한다. 이 때 다음을 증명하여라.
(a) 전체 외교관을 다음 성질이 만족하도록 공집합이 아닌 두 집합 X,Y로 나눌 수 있다. X에 속한 모든 외교관이 Y에 속한 어떤 외교관과도 악수를 하지 않았거나, X에 속한 모든 외교관이 Y에 속한 모든 외교관과 악수를 하였다.
(b) 어떤 두 외교관 A,B가 있어서 A,B 이외의 외교관 중에 A와 악수한 사람들의 모임과 B와 악수한 사람들의 모임이 같다.

5. 양의 실수 x,y,zx+y+z=1을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{y}{1-y}} + \sqrt{\frac{z}{1-z}} > 2

6. 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 직선 ABCD가 점 X에서 만난다. 점 B를 지나고 직선 AC와 직교하는 직선과 점 C를 지나고 직선 BD와 직교하는 직선의 교점을 P라 하고, 점 D를 지나고 직선 AC와 직교하는 직선과 점 A를 지나고 직선 BD와 직교하는 직선의 교점을 Q라 하자. 세 점 X,P,Q가 한 직선 위에 있음을 보여라.

7. 정보기관에서 테러리스트 용의자 2000명 사이에 휴대전화 통화가 있었는지 여부를 조사하였다. 그런데 서로 겹치지 않는 3명씩의 두 모임 A,B를 뽑아보면 AB 사이에는 반드시 통화하지 않았던 쌍이 있었다. 이 때, 통화한 적이 있는 쌍의 개수는 201000보다 작음을 보여라.

8. 원탁에 2010명의 사람이 둥글게 앉아 있다. 어떤 사람에게 과자를 주고, 그 사람으로부터 시계방향으로 1번째, 1+2번째, 1+2+3번째, …, 1+2+…+2009번째 사람에게 과자를 주었다. 이 때, 과자를 하나 이상 받은 사람의 수를 구하여라.

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