2010 KMO #5

내 기억엔 이거 예전 전국 기출문제인데..

5. 양의 실수 x,y,zx+y+z=1을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{y}{1-y}} + \sqrt{\frac{z}{1-z}} > 2

매우 단순한 차수 맞추기를 하면 \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq 2를 증명한 후 등호가 성립되지 않음을 보이면 된다. 그런데 \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z} \Leftrightarrow x+y+z \geq 2 \sqrt{x(y+z)}가 산술기하 부등식으로 성립하고 다 더하면 바로 끝. 등호가 성립하려면 x+y=z,y+z=x,z+x=y가 성립해야 하는데 양의 실수에선 그럴 수 없으므로 모순이다.

그나저나 올해는 부등식이 두 개네.. 허허

+ 만약 음 아닌 실수도 용인하되 분모만 0이 안 되게 한다면 등호조건은 존재한다. 그러면 저 등호 조건이 x+y=z or z=0으로 되기 때문에 전체 등호조건은 x=y,z=0 등이 가능하게 된다. 이렇게 x=y=z 꼴이 아닌 등호조건 때문에 어려워진 문제. 또한 이렇기 때문에 우변의 2는 최선의 값이다. 왜냐하면 양의 실수에선 x=y, z \rightarrow 0으로 만들면 좌변의 값이 2로 수렴하므로..

Advertisements
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: