2010 KMO #6

6. 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 직선 ABCD가 점 X에서 만난다. 점 B를 지나고 직선 AC와 직교하는 직선과 점 C를 지나고 직선 BD와 직교하는 직선의 교점을 P라 하고, 점 D를 지나고 직선 AC와 직교하는 직선과 점 A를 지나고 직선 BD와 직교하는 직선의 교점을 Q라 하자. 세 점 X,P,Q가 한 직선 위에 있음을 보여라.

X를 중심으로 하고 적당히 확대/축소하여 각 X의 이등분선에 대해 대칭하면 B,CD,A로 대응되도록 할 수 있다. 이 때 A,D가 각각 XC,XB 위의 점 A',D'로 대응된다고 하자. 그리고 P가 대응되는 점을 P'라 하자. 그러면 P'A,D에서 DD',AA'에 내린 수선의 교점이다.각을 따져보면 ACDD'가 평행이고 AA',BD가 평행임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉 AP'DD'와 수직인데 DQAC와 수직이 되어 AP',DQ는 평행이다. 마찬가지로 DP',AQ도 평행이다. 따라서 AP'DQ는 평행사변형이 된다.

따라서 싸인 정리에 의해 \frac{AP'}{\sin \angle AXP'} = \frac{XP'}{\sin \angle XAP'} = \frac{XP'}{\sin \angle XDP'} = \frac{DP'}{\sin \angle DXP'}가 된다. (\angle XAP' = \frac{\pi}{2}-\angle{DD'A} = \frac{\pi}{2}-\angle{DA'A}=\angle P'DX as directed angles) 마찬가지로 \angle XAQ = \angle XDQ임을 이용하면 \frac{\sin \angle DXQ}{DQ} = \frac{\sin \angle AXQ}{AQ}가 되므로 \frac{\sin \angle AXP'}{\sin \angle DXP'} = \frac{\sin \angle DXQ}{\sin \angle AXQ}가 되어 \angle AXP'=\angle DXQ인데 P'P를 확대/축소하여 대칭시켰으므로 \angle AXP' = \angle DXP이다. 따라서 \angle DXP = \angle DXQ가 되어 X,P,Q는 일직선 위.

이 아이디어 쓴게 2009 쇼트에도 있었는데..

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    • 신종
    • January 31st, 2012

    ㅋ. 오늘에서야 알았네. 이 문제는 IMO shortlist G8 하고 같은 문제였다.
    http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=185022

    • 신종현
    • January 31st, 2012

    ㅋ. 오늘에서야 알았네. 이 문제는 IMO shortlist G8 하고 같은 문제였다.
    http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=185022

    • 신종현
    • January 31st, 2012

    이름이 짤렸네. ㅠㅠ. 성윤아 지워줘.

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