2010 Iran NMO #1

2010 Iran NMO 풀이 마지막.

1. a,b는 두 양의 정수로 a > b이다. \gcd(a-b,ab+1)=1임과 \gcd(a+b,ab-1)=1이 알려져 있을 때. (a-b)^2+(ab+1)^2는 완전제곱수가 아님을 보여라.

(a-b)^2+(ab+1)^2=(a+b)^2+(ab-1)^2=(a^2+1)(b^2+1)임을 이용한다. 만약 완전제곱수라 가정하자. 이 때 소수 pa^2+1,b^2+1을 나눈다고 가정하자. 즉 a^2 \equiv b^2 \equiv -1\text{ (mod }p\text{)}가 된다. 따라서 a \equiv \pm b가 된다. 만약 a-b \equiv 0이라면 맨 위의 식에서 p^2(a-b)^2+(ab+1)^2를 나눔에서 pab+1도 나누는데 이는 a-b,ab+1이 서로 소임에 모순. 마찬가지로 a+b \equiv 0ab-1p의 배수가 되어 서로 소란 가정에 모순이 된다. 따라서 a^2+1,b^2+1은 서로 소인데 곱이 완전제곱수이므로 각각이 제곱수가 된다. 그런데 a^2+1이 제곱수인 양의 정수 a는 없으니까 모순. 끝

전반적으로 문제들이 쉬운 감이 없지 않았다. 적어도 KMO가 더 어려워보인다. ㅠ

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  1. KMO보다는 쉽네요 1차보다 더 쉬운것 같기도…

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