2010 Iran NMO #3

3. 원 W_1,W_2D,P에서 만나고 있다. 점 A,B는 각각 W_1,W_2 위의 점으로 ABW_1,W_2와 동시에 접한다고 한다. DP보다 직선 AB에 더 가깝다고 하자. 직선 AD가 원 W_2C에서 다시 만난다고 할 때, BC의 중점 M에 대해 \angle{DPM}=\angle{BDC}임을 보여라.

의외의 곳에서 반전을 쓰면 의외로 쉽게 풀리기도..

B를 중심으로 반전한다. 그리고 반전된 점들엔 ‘을 붙여서 표현하기로 한다. (점뿐만 아니라 원이나 직선 등등도) 먼적 직선 AB는 그대로 A'B란 직선으로 바뀐다. W_2'A'B와 평행인 어떤 직선이 된다. W_1'은 직선 A'B와는 A'에서 접하는 원으로 W_2'와는 D',P'에서 만난다. 또한 P'BD'보다 더 가까운 거리에 있게 된다. 그러면 C'BA'D'의 외접원이 W_2'와 만나는 점이 되는데 이는 곧 A'BC'D'가 등변사다리꼴이 되게 하는 점이다. 또한 M'BC'=C'M'이 되도록 반직선 B'C'에 존재하는 점.

A'BC'D'는 등변사다리꼴인데 A'D'P'가 이등변삼각형이므로 A'D'=A'P'=BC'=C'M' 이런 변의 관계를 얻는다. 또한 A'BC'P'는 평행사변형이 된다. 따라서 A'B=C'P'이고 A'D' = C'M'이며 \angle D'A'B = \angle C'BA' = \angle M'C'P'이 되어 삼각형 A'BD'C'P'M'이 합동이 된다. 따라서 \angle DPM = \angle DPB + \angle BPM = \angle P'D'B + \angle P'M'B
= \angle A'BD' + \angle P'M'B = \angle M'P'C' + \angle P'M'C' = \angle BC'D' = \angle BDC가 되어 문제가 증명된다.

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    • 나상훈
    • September 4th, 2010

    음 논증풀이도 있는것 같네요
    직선 DP의 연장선과 AB교점을 N이라 하면 N은 AB의 중점이 되는 것은 쉽게 보일수 있고 각계산을 하면 삼각형 ABP와 삼각형 BCP가 닮음이 되는데 N과 M이 각각 AB와 BC의 중점이니 삼각형 BPN과 삼각형 CPM이 닮음이 되는데 여기서 각BPD=각CPM이 나오고 따라서 각DPM=각BPC=각BDC로 되는것 같네요

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