2010 Iran NMO #4

4. P(x)=ax^3+bx^2+cx+d는 실계수 다항식으로 \min\{d,b+d\} > max\{|{c}|,|{a+c}|\}이라 한다. P(x)는 구간 [-1,1]에서 실근을 갖지 않음을 보여라.

p(x) 말고 q(x)=dx^3+cx^2+bx+a를 보도록 한다. 주어진 조건은 d,b+d > c,-c,a+c,-a-c이므로 이들을 이용한다. 참고로 d는 절대값보다 크므로 양의 실수이다. q'(x)=3dx^2+2cx+b가 2차함수인데 그 축의 x 좌표는 1 \geq -\frac{c}{3d} \geq -1 \Leftrightarrow -3d \leq c \leq 3d3d \geq d \geq cc \geq -d \geq -3d로 성립한다. 따라서 x \leq -1일 땐 q'는 감소함수인데 q'(-1)=3d-2c+b=(b-c+d)+(-c+d)+d > 0이므로 q'(x) > 0이다. 또한 x \geq 1일 때 q'가 증가함수가 되어 q'(1)=3d+2c+b=(b+c+d)+(c+d)+d > 0임에서 역시 q'(x) >0 0이다. 곧 q(x)x \leq -1, x \geq 1일 때 증가한다. x \leq -1일 땐 q(x) \leq q(-1)=-d+c-b+a < 0이 되고 x \geq 1일 땐 q(x) \geq q(1)=d+c+b+a > 0이 된다. 따라서 qx \leq -1, x \geq 1일 땐 해를 갖지 않는다. x^3 q(\frac{1}{x})=p(x)이므로 이는 -1 \leq x \leq 1이며 x \neq 0일 때 p가 해를 갖지 않음을 의미한다. 마지막으로 p(0)=d > 0이므로 결국 p[-1,1]에서 해를 갖지 않는다.

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