2010 Iran NMO #5

5. 삼각형 ABC에서 \angle{A}=\frac{\pi}{3}라 한다. AB,AC의 연장선 위에 E,F를 잡아 BE=CF=BC가 되도록 한다. 직선 EF가 삼각형 ACE의 외접원과 K에서 만난다고 하자. (단, K\neq E) 이 때 K\angle{A}의 이등분선 위에 있음을 보여라.

흠.. 이것도 너무 쉽네 ㅠ

BC=a,CA=b,AB=c라 하고 A의 이등분선이 EF와 만나는 점이 ACE의 외접원 위에 있음을 보이면 된다. (동일법) 그 점을 K라 하고 A,C,E,K가 한 원 위에 있음을 보이자. 즉 FA \cdot FC = FE \cdot FK임을 보이면 되는데 FA=a+b, FC=a, FE = \sqrt{(a+b)^2+(a+c)^2-(a+b)(a+c)} = \sqrt{a^2 +ab+ac+b^2+c^2-bc} = \sqrt{2a^2 +ab+ac}, FK = FE \cdot \frac{a+b}{2a+b+c}니까 바로 증명끝..

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