2010 JMO #1

1. AB \neq AC인 예각삼각형 ABC가 있어 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P,Q를 세 점 A,B,P와 세 점 A,C,Q가 동시에 이 순서대로 일직선 상이 오게 했더니 네 점 B,C,P,Q가 한 원 위에 있으며 HP=HQ가 성립한다고 한다. 이 때 H는 삼각형 APQ의 외심임을 보여라. 단, XY로 선분 XY의 길이를 표시한다고 한다.

P,Q는 반직선 AB,AC 위에 있도록 한다. B,C,P,Q가 일직선이 되도록 하는 PQ들은 전부 서로 평행하다. 그들에 대해서 PQ의 수직이등분선도 바뀐다. (AB \neq AC이기 때문에) 즉 HP=HQ이며 B,C,P,Q가 한 원 위에 있단 조건을 만족시키는 PQ는 하나. 마찬가지로 HAPQ의 외심이 되는 PQ도 하나 뿐이다. (AH=HP인 것 자체가 A=P 제외하면 하나 뿐이니) 따라서 동일법을 써서 HAPQ의 외심이 되는 경우 B,C,P,Q가 한 원 위에 있음을 보이면 된다. 그런데 이런 경우 AH=HP이고 \angle BAH = \frac{\pi}{2}-B니까 정리하면 AP=2h \sin B가 된다. (h=HA) 마찬가지로 AQ=2h \sin C가 되어 AP \cdot AB = 2hc \sin B = \frac{hbc}{R} = 2hb \sin C = AQ \cdot AC가 된다. (R은 외접원 반지름 길이) 끝

뭐 그냥저냥..

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  1. 그런데 여기서 H가 APQ의 외심이 되는 PQ의 존재성을 보장할 수 있나요? 언뜻 보기에 자명해보이질 않아서요…

    • 삼각형 ABC에서 수심을 H 외심을 O라 하면 AH와 AO가 isogonal lines라는 것을 생각하면 됩니다. 그러면 PQ가 평행하게 움직이는 동안 APQ의 외심은 직선 AH를 일정하게 움직이죠

      • 아; 간단한 사실을 놓쳤네요. 답변 감사합니다 ㅎㅎ;

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