HOP #2

HOP #2 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 9월 4일 ~ 2010년 9월 17일 23시 59분

HOP-5. 양의 정수 m,n에 대해 ((x+y)^m-x^m)^n+((x+y)^n-y^n)^m-(x+y)^{mn}의 모든 계수가 0 이상임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-6. 실수 x,y,z \geq 1에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{1}{3}
Proposed by Jihoon Park

HOP-7. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 \gamma_1,\gamma_2가 선분 BC, 직선 AI에 접하며 ABC의 외접원과 내접하고 각각 \angle BAI\angle CAI 내부에 놓인다고 한다. \gamma_1,\gamma_2BCD,E에서 접한다고 한다. \displaystyle \frac{AC \cdot BD}{DC} = \frac{AB \cdot CE}{EB}임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-8. 임의의 소수 p와 정수 u,v에 대해 p|uv-n이면 p|f(u)f(v)-m이 성립하는 정수 m,n과 정수 계수 다항식 f를 모두 구하여라.
Proposed by Minki Han

HOP-9. 삼각형 ABC에서 변 AB. AC와 접하고 ABC의 외접원에 내접하는 원을 P_a라 하고. AB,AC와 접하고 ABC의 외접원에 외접하는 원을 Q_a라 하자. 마찬가지로 P_b,P_c,Q_b,Q_c를 정의한다. 이 때 P_a,P_b,P_c의 근심과 Q_a,Q_b,Q_c의 근심을 연결한 선분의 중점은 ABC의 외심임을 보여라.
Proposed by Yoonsuk Seo

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    • 임준혁
    • September 4th, 2010

    서윤석ㅋㅋㅋㅋㅋ

    • mnemonic
    • September 7th, 2010

    HOP-5 x^nm 계수가 -1입니다.

      • mnemonic
      • September 7th, 2010

      잘못봤네요. 죄송합니다.

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