HOP #2 Result

HOP-5. 양의 정수 m,n에 대해 ((x+y)^m-x^m)^n+((x+y)^n-y^n)^m-(x+y)^{mn}의 모든 계수가 0 이상임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

Solution 1. (Official) y=1로 두고 x^s의 계수를 본다. ((x+1)^m-x^m)^n = \left( \sum_{i=0}^{m-1} \binom{m}{i}x^i \right)^n임에서 이것의 x^s의 계수는 \sum_{c_1+\cdots +c_n=s,0 \leq c_i \leq m-1} \binom{m}{c_1} \cdots \binom{m}{c_n}이다. 이것은 m \times n 모양의 격자에 O,X를 써넣되 i열에 c_i개의 O를 쓰고 (단 0 \leq c_i \leq m-1) 총 s개의 O를 쓰는 경우의 수가 된다. 즉, 이것은 모든 열마다 적어도 하나의 X가 존재하도록 하는 경우의 수가 된다. 그런 격자의 집합을 A라 한다.
한 편, ((x+1)^n-1)^m = \left( \sum_{j=1}^n \binom{n}{j}x^j \right)^m에서 x^s의 계수는 \sum_{r_1+\cdots+r_m=s,1\leq r_j \leq n} \binom{n}{r_1}\cdots \binom{n}{r_m}이 되어 이는 똑같은 모양의 직사각형에서 j행에 r_j개의 O를 쓰고 (단 1 \leq r_j \leq n) 총 s개의 O를 쓰는 경우의 수가 된다. 즉, 모든 행마다 적어도 하나의 O가 존재하는 경우의 수가 된다. 그런 격자의 집합을 B라 하고, m \times ns개의 O을 써넣는 모든 경우의 집합을 U라 하자.
만약 A^c \cap B^c \neq \emptyset이라면 A^c \cap B^c의 한 원소는 적어도 하나의 열이 있어 X를 포함하지 않고 적어도 한 행이 있어 O를 포함하지 않는다. 이는 불가능하므로 A^c \cap B^c = \emptyset \Leftrightarrow A \cup B=U를 얻는다. 따라서 |A|+|B| \geq |U|가 되는데 |U| = \binom{mn}{s}(x+1)^{mn}에서의 x^s의 계수이다. 따라서 문제가 증명됨.

Comment. c jackal 님의 풀이가 거의 비슷했다.

2점: c jackal

HOP-6. 실수 x,y,z \geq 1에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{1}{3}
Proposed by Jihoon Park

Solution 1. (Official) 원래의 부등식은 통분후 정리하면 6(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx+3)과 동치이다. 이 때 (x+y+z)(xy+yz+zx+3) \geq 2(x+y+z)^2가 성립한다. (x=a+1,y=b+1,z=c+1이라 하면 이 식은 ab+bc+ca \geq 0과 동치가 된다.) 따라서 우변은 2(x+y+z)^2 \geq 6(xy+yz+zx)가 되어 부등식이 성립한다. 등호는 x=y=z=1일 때 성립.

Solution 2. (jedaihan) \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{2}{x+y+z} - \frac{3}{(x+y+z)^2}
= \frac{1}{3}(1- (1- \frac{3}{x+y+z})^2) \leq \frac{1}{3}.

Comment. 다른 분들의 풀이가 거의 다 이 풀이와 비슷했다.

2점: 렐릭, 마 나가하, 페르마, c jackal, cdycalvin, geniusmm, jedaihan
1점: emoticon
(맨 마지막 과정에서 조금 더 설명이 필요하고 (음수와 양수의 곱 등의 경우를 완벽히 따져주는 것 등) 등호조건에서 실수가 있네요)

HOP-7. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 \gamma_1,\gamma_2가 선분 BC, 직선 AI에 접하며 ABC의 외접원과 내접하고 각각 \angle BAI\angle CAI 내부에 놓인다고 한다. \gamma_1,\gamma_2BCD,E에서 접한다고 한다. \displaystyle \frac{AC \cdot BD}{DC} = \frac{AB \cdot CE}{EB}임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

Unsolved (except the proposer)

HOP-8. 임의의 소수 p와 정수 u,v에 대해 p|uv-n이면 p|f(u)f(v)-m이 성립하는 정수 m,n과 정수 계수 다항식 f를 모두 구하여라.
Proposed by Minki Han

Unsolved (except the proposer)

0점: emoticon (중간에 비약이 심한데다 답도 틀렸습니다. 다른 답이 더 있습니다. 무엇보다 “f(uv)를 해결할수 있는조건을 생각하면서 정수론적함수까지 고려하면 코시 함수방정식을 만족해야함을 알수있다”란 문장을 이해하기가 힘드네요.), cdycalvin (비슷한 이유입니다. f가 일차식이란 보장이 없습니다. 또한 역시 답이 틀렸습니다.)

HOP-9. 삼각형 ABC에서 변 AB. AC와 접하고 ABC의 외접원에 내접하는 원을 P_a라 하고. AB,AC와 접하고 ABC의 외접원에 외접하는 원을 Q_a라 하자. 마찬가지로 P_b,P_c,Q_b,Q_c를 정의한다. 이 때 P_a,P_b,P_c의 근심과 Q_a,Q_b,Q_c의 근심을 연결한 선분의 중점은 ABC의 외심임을 보여라.
Proposed by Yoonsuk Seo

Unsolved (except the proposer)

현재까지의 총점
렐릭 2 | 마 나가하 2 | 박지훈 2 | 블레임 8 | 엔스 2 | 조재진 0 | 페르마 3 | c jackal 4 | cdycalvin 2 | emoticon 1 | geniusmm 2 | jedaihan 4

현재까지의 Proposal 수
박지훈 1 | 서윤석 1 | 한민기 1

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  1. 약간 바빠서 풀이를 못보냈네요 어차피 푼것도 하나밖에 없지만요 ㅋㅋ
    전 6번을 이렇게 했어요.
    2/x+y+z=1에서 (x-1)(y-1)>=0 xy+1>=x+y
    따라서 (xy+yz+zx+3)/3(xy+yz+zx)>=2(x+y+z)/3(xy+yz+zx)>=2/(x+y+z)
    이는 (거의)자명하죠. 등호는 x=y=z=1/

  2. 6번 Solution 2의 마지막 식에서 제곱이 엉뚱한 데 붙었네요. 오타인듯

    • 오타였네요. 수정하였습니다. 감사합니다!

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