HOP #3

HOP #3 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 9월 18일 ~ 2010년 10월 1일 23시 59분

HOP-10. 서로 다른 세 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\left( \frac{a^2 -bc}{b-c} \right)^2 + \left( \frac{b^2-ca}{c-a} \right)^2 + \left( \frac{c^2-ab}{a-b} \right)^2 \geq 2(a+b+c)^2
Proposed by Minki Han

HOP-11. 임의의 양의 정수 N에 대해 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(i) 임의의 0 \leq r \leq N에 대해 \binom{2N}{r} \equiv r+1\text{ (mod }4\text{)}이다.
(ii) N=2^n-1인 양의 정수 n이 존재한다.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-12. n \geq 2는 주어진 자연수이다. 만약 어떤 수 Na_i \geq 2이고 임의의 i \neq j에 대해 \gcd(a_i,a_j)=1인 자연수 a_1,\cdots,a_n에 대해 N=a_1+\cdots+a_n으로 쓸 수 있다면 N을 좋은 수라고 하자. 이 때 좋지 않은 수의 개수는 유한함을 보여라.
Proposed by Seokwon Han

HOP-13. 양수 a_1,\cdots,a_n이 주어져 있고 그들의 합을 s라 하자. 이 때 어떤 자연수 t1=k_0 < k_1 < \cdots < k_t =n+1이 존재하여 \sum_{i=0}^{t-1} k_{i+1}a_{k_{i}} < 3s가 성립함을 보여라.
Proposed by Joonhyuk Lim

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  1. 실례지만, 질문 하나만 하겠습니다.
    HOP-11.에서 r = 3 이면 ii) -> i) 이 성립하지 않지 않나요?

    • 실수가 있었습니다. 2N+1을 2N으로 고쳤습니다. 감사합니다!

    • emoticon
    • September 25th, 2010

    이번엔 사정때문에 참여를 못한다는….(ㄷㄷ)

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