Archive for October, 2010

HOP 잠시 휴식

제가 많이 바빠진 관계로 적어도 12월 초까진 못할 것 같습니다. ㅠ 문제는 계속 받을 수 있으니 프로포절하고픈 문제가 있으면 보내주세요. 단 이제부터 부등식 문제는 제한 들어갑니다.

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HOP #4

HOP #4 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 10월 2일 ~ 2010년 10월 15일 23시 59분

HOP-14. a,b,ca+b+c \leq \frac{3}{2}를 만족하는 양의 실수일 때 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \left(a+\frac{1}{b+c}\right)^2 \geq \sum_{cyc} \left(1+\frac{a(b+1)}{a+b+c}\right)^2
Proposed by Ji Mun Kwon

HOP-15. 삼각형 ABC의 외접원과 내접원을 각각 w,w'라 하자. 외접원 위의 동점 P에서 내접원에 두 개의 접선을 그어 그 접점을 X,Z라 하고 PX,PZw와 만나는 점을 각각 Y,W라 하자. 이 때 Q=XW \cap YZ의 자취는 무엇인가?
Proposed by Yoonsuk Seo

HOP-16. 평면 위에 두 볼록다각형 A,B가 있어 BA 내부에 놓인다고 한다. 다각형 P에 대해 그 둘레의 길이를 p(P)라 하자. p(A) \geq p(B)임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-17. x,y,z는 합이 1인 음 아닌 실수이며 a,b,c는 양의 정수이다. 이 때 다음 부등식을 증명하여라.
(1-(y+z)^{bc})^a + (1-(z+x)^{ca})^b + (1-(x+y)^{ab})^c \geq 1
Proposed by Sungyoon Kim

참고 HOP-8은 Iran 2009 TST의 일반화임을 proposer가 밝혔습니다.
HOP-16은 Zuming Feng의 문제를 2차원으로 단순화한 것입니다. (추후 Result에서 더 설명)

HOP #3 Result

HOP-10. 서로 다른 세 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\left( \frac{a^2 -bc}{b-c} \right)^2 + \left( \frac{b^2-ca}{c-a} \right)^2 + \left( \frac{c^2-ab}{a-b} \right)^2 \geq 2(a+b+c)^2
Proposed by Minki Han

Solution. (jedaihan) x=\frac{a^2-bc}{b-c},y=\frac{b^2-ca}{c-a},z=\frac{c^2-ab}{a-b}라 하면 xy+yz+zx=-(a+b+c)^2가 되어 x^2+y^2+z^2 \geq -2(xy+yz+zx)=2(a+b+c)^2가 성립한다.

2점: Akiyama
1점: jedaihan, 렐릭
(두 분 다 등호조건에 대한 언급이 없거나 논의가 부족했습니다.)

HOP-11. 임의의 양의 정수 N에 대해 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(i) 임의의 0 \leq r \leq N에 대해 \binom{2N}{r} \equiv r+1\text{ (mod }4\text{)}이다.
(ii) N=2^n-1인 양의 정수 n이 존재한다.
Proposed by Sungyoon Kim

Solution 1. (Official) (i)는 \binom{2N+2}{0},\binom{2N+2}{2N} \equiv 1, \binom{2N+2}{N+1} \equiv 2, 그리고 그 외의 i에 대해 \binom{2N+2}{i} \equiv 0가 성립함과 동치가 된다. (mod 4로 볼 때) 그러한 2N+2\binom{2N+1}{N} = \frac{1}{2}\binom{2N+2}{N+1}이 홀수가 되는데, Lucas의 정리에 의해 그런 N2^k-1 꼴밖에 안 된다.

Solution 2. (jedaihan) HOP11

2점: jedaihan, 페르마

HOP-12. n \geq 2는 주어진 자연수이다. 만약 어떤 수 Na_i \geq 2이고 임의의 i \neq j에 대해 \gcd(a_i,a_j)=1인 자연수 a_1,\cdots,a_n에 대해 N=a_1+\cdots+a_n으로 쓸 수 있다면 N을 좋은 수라고 하자. 이 때 좋지 않은 수의 개수는 유한함을 보여라.
Proposed by Seokwon Han

Unsolved (except the proposer)

HOP-13. 양수 a_1,\cdots,a_n이 주어져 있고 그들의 합을 s라 하자. 이 때 어떤 자연수 t1=k_0 < k_1 < \cdots < k_t =n+1이 존재하여 \sum_{i=0}^{t-1} k_{i+1}a_{k_{i}} < 3s가 성립함을 보여라.
Proposed by Joonhyuk Lim

Unsolved (except the proposer)

현재까지의 총점
렐릭 3 | 마 나가하 2 | 박지훈 2 | 블레임 8 | 엔스 2 | 조재진 0 | 페르마 5 | Akiyama 2 | c jackal 4 | cdycalvin 2 | emoticon 1 | geniusmm 2 | jedaihan 7

현재까지의 Proposal 수
박지훈 1 | 서윤석 1 | 임준혁 1 | 한민기 2 | 한석원 1