HOP #4

HOP #4 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 10월 2일 ~ 2010년 10월 15일 23시 59분

HOP-14. a,b,ca+b+c \leq \frac{3}{2}를 만족하는 양의 실수일 때 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \left(a+\frac{1}{b+c}\right)^2 \geq \sum_{cyc} \left(1+\frac{a(b+1)}{a+b+c}\right)^2
Proposed by Ji Mun Kwon

HOP-15. 삼각형 ABC의 외접원과 내접원을 각각 w,w'라 하자. 외접원 위의 동점 P에서 내접원에 두 개의 접선을 그어 그 접점을 X,Z라 하고 PX,PZw와 만나는 점을 각각 Y,W라 하자. 이 때 Q=XW \cap YZ의 자취는 무엇인가?
Proposed by Yoonsuk Seo

HOP-16. 평면 위에 두 볼록다각형 A,B가 있어 BA 내부에 놓인다고 한다. 다각형 P에 대해 그 둘레의 길이를 p(P)라 하자. p(A) \geq p(B)임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-17. x,y,z는 합이 1인 음 아닌 실수이며 a,b,c는 양의 정수이다. 이 때 다음 부등식을 증명하여라.
(1-(y+z)^{bc})^a + (1-(z+x)^{ca})^b + (1-(x+y)^{ab})^c \geq 1
Proposed by Sungyoon Kim

참고 HOP-8은 Iran 2009 TST의 일반화임을 proposer가 밝혔습니다.
HOP-16은 Zuming Feng의 문제를 2차원으로 단순화한 것입니다. (추후 Result에서 더 설명)

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  1. 저도 참고로 밝혀두는데 제 HOP 12번 문제는 이 문제의 확장입니다.
    ‘1보다 큰 서로소인 두 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 자연수를 모두 구하여라’ (출전: Tournament of the Towns, 1983년 가을 Junior 2번)

  2. 아 result 언제 나올수 있을까염?..;;

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