Archive for February, 2011

2011 RMM

2011년 2월 25일~26일동안 치뤄진 시험. 하루에 3문제, 4시간 반.

Day 1: 2/25

1. f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}가 존재하여 f \circ g는 강감소하고 g \circ f가 강증가하게 할 수 있음을 보여라.

2. 다음 조건들을 만족하는 실수 계수 다항식이 존재하게 하는 양의 정수 n들을 모두 구하여라.
(1) 각각의 정수 k에 대해, f(k)가 정수임과 kn의 배수가 아님이 동치이다.
(2) f의 차수가 n보다 작다.

3. 삼각형 ABC는 원 w에 내접하고 있다. 움직이는 직선 l이 변 BC와 평행하며 선분 AB,ACD,E에서 만난다고 한다. 또한 w와는 K,L에서 만나며 DK,E 사이에 놓인다고 한다. 원 \gamma_1은 선분 KD,BDw에 접하며, \gamma_2는 선분 LE,CEw에 접한다. l이 움직일 때 \gamma_1,\gamma_2의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.

Day 2: 2/26

4. 주어진 양의 정수 n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}에 대해, n의 소인수의 개수를 중복하며 센 숫자 \sum_{i=1}^s \alpha_i\Omega(n)으로 정의하자. \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}으로 정의하자. (예를 들어 \lambda(12)=\lambda(2^2 \cdot 3^1) = (-1)^{2+1}=-1이다.)
이 때 다음을 증명하여라:
i) \lambda(n)=\lambda(n+1)=+1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.
ii) \lambda(n)=\lambda(n+1)=-1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.

5. 모든 n \geq 3에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 서로 다른 n개의 점들 X_1,\cdots,X_n의 위치를 모두 구하여라: 임의의 서로 다른 두 점 X_i,X_j에 대해 \{1,2,\cdots,n\}의 순열 \sigma가 존재하여 모든 1 \leq k \leq n에 대해 d(X_i,X_k)=d(X_j,X_{\sigma(k)})가 성립한다. (d(X,Y)는 두 점 X,Y 사이의 거리이다.)

6. 2011 \times 2011 모양의 칸에 숫자들 1,2,\cdots,2011^2이 한 칸에 하나씩 써 있다. 이제 왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙이고, 위쪽 변과 아래쪽 변을 붙여 토러스처럼 만들자. (토러스는 도넛의 표면과 같은 모양이다.) 어떻게 숫자들을 칸들에 써넣더라도 서로 인접한 두 칸이 있어 그들에 쓰인 수의 차이가 최소 M이 되게 하는 양의 정수 M의 최댓값을 구하여라. (두 칸 (x,y),(x',y')가 인접하는 것은 x=x'이고 y-y' \equiv \pm 1 (mod 2011)이거나 y=y'이고 x-x' \equiv \pm 1 (mod 2011)일 때이다.)

2011 JMO

오랜만입니다.

2011년 2월 11일 치뤄진 시험.

1. 예각삼각형 ABC의 변 BC의 중점이 M으로 주어져 있다. ABC의 수심 H에서 AM에 내린 수선의 발을 P라 하자. AM \cdot PM=BM^2임을 증명하여라.

2. a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)을 만족하는 자연수들 (a,n,p,q,r)을 모두 구하여라.

3. A는 일렬로 늘어놓인 N개의 칸에 한 칸당 하나씩 음 아닌 정수들을 써넣는다. A가 어떤 음 아닌 정수를 말할 때마다, B는 N개의 칸 중 하나를 택해 A가 말한 수로 대체한다고 한다. 이 과정을 되풀이하여 이 숫자들이 강증가하면 시행이 끝난다고 한다. A가 어떻게 말하든 B가 이 시행을 끝내는 것이 가능한가?

4. 임의의 실수 x,y \in \mathbb{R}에 대해 f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)를 만족하는 함수 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.

5. 평면 위에 4개의 점이 주어져 있다. 이들 중 세 개를 택해 만드는 삼각형의 내접원의 반지름들이 모두 같다고 한다. 이 때 이 삼각형들은 모두 합동임을 보여라.

HOP는 조만간 재개할 생각입니다. 그런데 저 혼자 하는 것은 조금 힘들 것 같아 한두 분 정도 도와주실 분을 찾습니다. 조만간 자세한 내용을 올리겠습니다.