2011 JMO

오랜만입니다.

2011년 2월 11일 치뤄진 시험.

1. 예각삼각형 ABC의 변 BC의 중점이 M으로 주어져 있다. ABC의 수심 H에서 AM에 내린 수선의 발을 P라 하자. AM \cdot PM=BM^2임을 증명하여라.

2. a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)을 만족하는 자연수들 (a,n,p,q,r)을 모두 구하여라.

3. A는 일렬로 늘어놓인 N개의 칸에 한 칸당 하나씩 음 아닌 정수들을 써넣는다. A가 어떤 음 아닌 정수를 말할 때마다, B는 N개의 칸 중 하나를 택해 A가 말한 수로 대체한다고 한다. 이 과정을 되풀이하여 이 숫자들이 강증가하면 시행이 끝난다고 한다. A가 어떻게 말하든 B가 이 시행을 끝내는 것이 가능한가?

4. 임의의 실수 x,y \in \mathbb{R}에 대해 f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)를 만족하는 함수 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.

5. 평면 위에 4개의 점이 주어져 있다. 이들 중 세 개를 택해 만드는 삼각형의 내접원의 반지름들이 모두 같다고 한다. 이 때 이 삼각형들은 모두 합동임을 보여라.

HOP는 조만간 재개할 생각입니다. 그런데 저 혼자 하는 것은 조금 힘들 것 같아 한두 분 정도 도와주실 분을 찾습니다. 조만간 자세한 내용을 올리겠습니다.

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  1. 4번 재밌네요 ㅋ 해가 무려 네개씩이나 나오네요.

    • 0, ±x^2, ±(x^2-1) 의 5개 아닌감?

      • 아 맞다 0을 깜빡함.
        항상 상수함수 맨 첫줄에 써놓고 그다음부터 제외하고 푸는 습관이 들어서인지 답 정리할때 빼먹는 경우가 가끔 있음-_-;

    • calvin
    • April 24th, 2011

    저거 2번…a가 1인경우에는 나머지는 무한히 많지 않나??
    아님…별 상관없나??…ㅠ

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