2011 FKMO Day 2

4. a,b,c \geq 0a+b+c=1을 만족할 때, \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-4a+9}의 최댓값을 구하여라.

5. AC<AB<BC를 만족하는 삼각형 ABC에 대해 AC=AD인 점 DAB 위에 잡는다. 삼각형 ABC의 외접원이 각 A의 이등분선과 만나는 점을 E \neq A라 하고, CD와 만나는 점을 F \neq C라 한다. BC,DE의 교점을 K라 할 때, DK \cdot EF = AC \cdot DFCK=AC가 동치임을 보여라.

6. 가로 m칸, 세로 n칸으로 총 mn칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판이 있다. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써 넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 R에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 정수 h가 존재하면 R을 '선반'이라 하자.
(a) 직사각형 R에 속한 모든 칸에 적힌 수는 h보다 크다.
(b) 직사각형 R의 외부의 칸 중에서, R에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 h 이하이다.
선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그 때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?

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