Archive for April, 2011

2011 USAMO

2011년 4월 27일~28일.

1. a,b,c는 양의 실수로 a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2 \leq 4를 만족한다. 이 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sum_{cyc} \frac{ab+1}{(a+b)^2} \geq 3

2. 정오각형의 각 꼭지점에 정수가 쓰여 있어 다섯 정수의 합이 2011이라고 한다. 한 카드 게임이 있어서, 한 턴에 어느 두 인접한 꼭지점의 정수에서 m을 빼고 그들의 반대편에 있어서 이 두 꼭지점에 동시에 인접하지 않는 꼭지점의 정수에 2m을 더한다. (m이나 꼭지점 선택은 턴마다 다를 수 있다.) 만약 몇 개의 턴을 지난 후 어느 꼭지점에서 정수가 2011이 되고 나머지가 0이 되면 이 게임에서 이긴다고 한다. 처음 정수가 어떻든, 이 게임을 이길 수 있는 꼭지점이 정확히 하나 존재함을 보여라.

3. 볼록은 아니나 변들이 서로 교차하지 않는 육각형 ABCDEF에서, 어떤 대변도 평행이 아니라고 한다. 내각의 크기는 \angle A=3\angle D, \angle C = 3\angle F, $\angle E = 3\angle B$를 만족한다고 한다. 또한 AB=DE,BC=EF,CD=FA일 때, 대각선 AD,BE,CF가 한 점에서 만남을 보여라.

4. 다음 명제를 생각한다. 각각의 양의 정수 n \geq 2에 대해, 2^{2^n}2^n-1로 나눈 나머지가 4의 거듭제곱이다. 이를 증명하거나 반례를 들어라. (반증에는 증명이 포함되어야 한다.)

5. 사각형 ABCD 내부에 점 P가 있다. 점 Q_1,Q_2ABCD 내부에 놓여 있어 \angle Q_1BC=\angle ABP,\angle Q_1CB=\angle DCP, \angle Q_2AD = \angle BAP, \angle Q_2DA = \angle CDP를 만족한다고 한다. 이 때 Q_1Q_2AB가 평행함은 Q_1Q_2CD와 평행함과 동치임을 보여라.

6. A는 원소의 개수가 225개인 집합이다. 또한 A의 11개의 부분집합 A_1,\cdots,A_{11}이 있어 1 \leq i \leq 11에 대해 |A_i|=45이고, 1 \leq i < j \leq 11에 대해 |A_i \cap A_j|=9라 한다. 이 때 |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{11}| \geq 165임을 보이고, 등호가 성립하는 예를 잡아라.