Archive for the ‘ 대수 ’ Category

2010 JMO #4

4. 양의 실수 x,y,z에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^2} \geq 1

코시-슈바르츠 부등식으로 (1+xy+xz)(1+\frac{y}{x} + \frac{z}{x}) \geq (1+y+z)^2가 성립하니까
\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^2} \geq \sum_{cyc} \frac{1}{1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}} = \sum_{cyc} \frac{x}{x+y+z}=1. 끝

등호는 x=y=z=1일 때 성립한다.

2010 Iran NMO #4

4. P(x)=ax^3+bx^2+cx+d는 실계수 다항식으로 \min\{d,b+d\} > max\{|{c}|,|{a+c}|\}이라 한다. P(x)는 구간 [-1,1]에서 실근을 갖지 않음을 보여라.

p(x) 말고 q(x)=dx^3+cx^2+bx+a를 보도록 한다. 주어진 조건은 d,b+d > c,-c,a+c,-a-c이므로 이들을 이용한다. 참고로 d는 절대값보다 크므로 양의 실수이다. q'(x)=3dx^2+2cx+b가 2차함수인데 그 축의 x 좌표는 1 \geq -\frac{c}{3d} \geq -1 \Leftrightarrow -3d \leq c \leq 3d3d \geq d \geq cc \geq -d \geq -3d로 성립한다. 따라서 x \leq -1일 땐 q'는 감소함수인데 q'(-1)=3d-2c+b=(b-c+d)+(-c+d)+d > 0이므로 q'(x) > 0이다. 또한 x \geq 1일 때 q'가 증가함수가 되어 q'(1)=3d+2c+b=(b+c+d)+(c+d)+d > 0임에서 역시 q'(x) >0 0이다. 곧 q(x)x \leq -1, x \geq 1일 때 증가한다. x \leq -1일 땐 q(x) \leq q(-1)=-d+c-b+a < 0이 되고 x \geq 1일 땐 q(x) \geq q(1)=d+c+b+a > 0이 된다. 따라서 qx \leq -1, x \geq 1일 땐 해를 갖지 않는다. x^3 q(\frac{1}{x})=p(x)이므로 이는 -1 \leq x \leq 1이며 x \neq 0일 때 p가 해를 갖지 않음을 의미한다. 마지막으로 p(0)=d > 0이므로 결국 p[-1,1]에서 해를 갖지 않는다.

2010 KMO #5

내 기억엔 이거 예전 전국 기출문제인데..

5. 양의 실수 x,y,zx+y+z=1을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{y}{1-y}} + \sqrt{\frac{z}{1-z}} > 2

매우 단순한 차수 맞추기를 하면 \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq 2를 증명한 후 등호가 성립되지 않음을 보이면 된다. 그런데 \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z} \Leftrightarrow x+y+z \geq 2 \sqrt{x(y+z)}가 산술기하 부등식으로 성립하고 다 더하면 바로 끝. 등호가 성립하려면 x+y=z,y+z=x,z+x=y가 성립해야 하는데 양의 실수에선 그럴 수 없으므로 모순이다.

그나저나 올해는 부등식이 두 개네.. 허허

+ 만약 음 아닌 실수도 용인하되 분모만 0이 안 되게 한다면 등호조건은 존재한다. 그러면 저 등호 조건이 x+y=z or z=0으로 되기 때문에 전체 등호조건은 x=y,z=0 등이 가능하게 된다. 이렇게 x=y=z 꼴이 아닌 등호조건 때문에 어려워진 문제. 또한 이렇기 때문에 우변의 2는 최선의 값이다. 왜냐하면 양의 실수에선 x=y, z \rightarrow 0으로 만들면 좌변의 값이 2로 수렴하므로..

2010 KMO #2

2. 양의 실수 a,b,cab+bc+ca=1을 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{a^2}} + \sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \sqrt{33}

코시-슈바르츠 부등식에 의해 \displaystyle \left( \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2} + b^2+c^2 \right)^2 (3^2+1^2+1^2) \geq \left( 3 \frac{ab+bc+ca}{a}+b+c \right)^2이므로 \displaystyle (LHS) \geq \sum \frac{1}{\sqrt{11}}(3 \frac{ab+bc+ca}{a}+b+c)
\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{11}}(3\frac{(ab+bc+ca)^2}{abc} + 2(a+b+c))
\displaystyle \geq \frac{1}{\sqrt{11}} 11(a+b+c) = \sqrt{11}(a+b+c) = \sqrt{11(a+b+c)^2}
\displaystyle \geq \sqrt{33(ab+bc+ca)} = \sqrt{33}, 증명끝.

등호는 a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}일 때 성립한다.

2005 KMO 여름학교 모의고사 2차 #5

예전에 매쓰링크의 블로그에다 썼던 글을 번역. 처음이자 마지막으로 계절학교 조교를 했던 2005년 여름학교에서 모의고사 용으로 두 문제를 만들어 한 문제는 중등부 2차 1번, 한 문제는 고등부 2차 5번에 냈는데 둘 다 학생 총점이 14점을 넘기지 못한 일화가 있다. 이 사실을 발견한 것은 고등학교 재학 중이던 2004년이었는데 당시엔 풀지 못했다가 후에 풀이를 발견하여 문제화하였다.

가끔 대칭 부등식을 풀 때에 주어진 변수들의 symmetric sum, 즉 대칭 합을 이용하여 식을 표현하는 것이 유용한 경우가 있다. 이는 항상 가능한 일로, 대칭 식은 반드시 “기본적인” 대칭 합들로 표현이 가능하기 때문이다. 여기에서 일컫는 대칭 합은 S_{i}=\frac{t_{n-i}}{\binom{n}{i}}으로 여기서 t_{k}(x+x_{1})(x+x_{2})\cdots(x+x_{m})에서의 x^{k}의 계수이다.

이 대칭 합들에 관한 유명한 부등식 두 개가 알려져있다.
Newton’s inequality 1 \leq k \leq m-1이면 S_{k}^{2}\geq S_{k+1}S_{k-1}가 성립한다.
Maclaurin’s inequality 0 \leq a< b \leq m이면 S_{a}^{b}\geq S_{b}^{a}가 성립한다.
Maclausin의 부등식은 산술기하 평균 부등식의 일반화이기도 하다. (a=1,b=n)

이제 이 부등식들을 하나의 부등식으로 일반화를 하자. 이를 위해 볼록성과 majorization과 연관된 강력한 부등식인 Karamata’s inequality (혹은 majorization inequality) 를 이용한다.
Majorization inequality 만약 구간 I 내에서 (a_{1},\cdots,a_{n})(b_{1},\cdots,b_{n})를 majorize하면 I에서 볼록인 함수 f에 대해 \sum_{i=1}^{n}f(a_{i}) \geq \sum_{i=1}^{n}f(b_{i})가 성립한다.
이 부등식의 증명의 주요 키 포인트는 아벨 합을 이용하는 것이다. 이에 대한 증명은 Mathlinks에서도 찾아볼 수 있다. (후에 한 번 글을 올릴까 한다.)

이제 만약 \ln{S_i}들이 마치 “볼록”하거나 “오목”한 것처럼 행동한다면 비슷한 결과를 얻을 수 있어야 한다. 실제로 majorization inequality의 증명은 구간 I의 연속적인 값들을 이용하는 것이 아닌 이산적인 값들을 이용하기 때문에 비록 S_i의 “변수” i가 이산적이어도 비슷하게 적용하는 것이 가능하다. 따라서 \ln{S_i}들이 볼록한지 오목한지만 확인하면 되는데, 이것은 Newton 부등식의 직접적인 결과이다. 왜냐면 Newton 부등식 자체가
2ln S_{k}\geq ln S_{k+1}+ln S_{k=1}, 즉 \ln{S_i}의 오목성을 뜻하기 때문이다. 따라서, 우리는 다음과 같은 부등식을 얻는다.

0 이상 m 이하인 정수 a_{i},b_{i}에 대해 만약 (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})을 majorize하면 \prod_{i=1}^{n}S_{a_{i}}\leq \prod_{i=1}^{n}S_{b_{i}}가 성립한다.

왜 이것이 앞의 두 부등식의 일반화일까? 이유는 간단하다. (k+1,k-1)(k,k)를 majorize하는 것에서 Newton’s inequality를 얻을 수 있고, a < b일 때 (b,b,\cdots,b,0,\cdots,0)(a,a,\cdots,a)를 majorize한다는 것에서 Maclaurin’s inequality를 얻을 수 있기 때문이다.

등호조건을 따지는 것은 그리 어렵지 않으니 직접 확인해보길 바란다. (딱히 우리의 예상을 빗나가진 않는다.)