Archive for the ‘ HOP ’ Category

HOP 잠시 휴식

제가 많이 바빠진 관계로 적어도 12월 초까진 못할 것 같습니다. ㅠ 문제는 계속 받을 수 있으니 프로포절하고픈 문제가 있으면 보내주세요. 단 이제부터 부등식 문제는 제한 들어갑니다.

HOP #4

HOP #4 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 10월 2일 ~ 2010년 10월 15일 23시 59분

HOP-14. a,b,ca+b+c \leq \frac{3}{2}를 만족하는 양의 실수일 때 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \left(a+\frac{1}{b+c}\right)^2 \geq \sum_{cyc} \left(1+\frac{a(b+1)}{a+b+c}\right)^2
Proposed by Ji Mun Kwon

HOP-15. 삼각형 ABC의 외접원과 내접원을 각각 w,w'라 하자. 외접원 위의 동점 P에서 내접원에 두 개의 접선을 그어 그 접점을 X,Z라 하고 PX,PZw와 만나는 점을 각각 Y,W라 하자. 이 때 Q=XW \cap YZ의 자취는 무엇인가?
Proposed by Yoonsuk Seo

HOP-16. 평면 위에 두 볼록다각형 A,B가 있어 BA 내부에 놓인다고 한다. 다각형 P에 대해 그 둘레의 길이를 p(P)라 하자. p(A) \geq p(B)임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-17. x,y,z는 합이 1인 음 아닌 실수이며 a,b,c는 양의 정수이다. 이 때 다음 부등식을 증명하여라.
(1-(y+z)^{bc})^a + (1-(z+x)^{ca})^b + (1-(x+y)^{ab})^c \geq 1
Proposed by Sungyoon Kim

참고 HOP-8은 Iran 2009 TST의 일반화임을 proposer가 밝혔습니다.
HOP-16은 Zuming Feng의 문제를 2차원으로 단순화한 것입니다. (추후 Result에서 더 설명)

HOP #3 Result

HOP-10. 서로 다른 세 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\left( \frac{a^2 -bc}{b-c} \right)^2 + \left( \frac{b^2-ca}{c-a} \right)^2 + \left( \frac{c^2-ab}{a-b} \right)^2 \geq 2(a+b+c)^2
Proposed by Minki Han

Solution. (jedaihan) x=\frac{a^2-bc}{b-c},y=\frac{b^2-ca}{c-a},z=\frac{c^2-ab}{a-b}라 하면 xy+yz+zx=-(a+b+c)^2가 되어 x^2+y^2+z^2 \geq -2(xy+yz+zx)=2(a+b+c)^2가 성립한다.

2점: Akiyama
1점: jedaihan, 렐릭
(두 분 다 등호조건에 대한 언급이 없거나 논의가 부족했습니다.)

HOP-11. 임의의 양의 정수 N에 대해 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(i) 임의의 0 \leq r \leq N에 대해 \binom{2N}{r} \equiv r+1\text{ (mod }4\text{)}이다.
(ii) N=2^n-1인 양의 정수 n이 존재한다.
Proposed by Sungyoon Kim

Solution 1. (Official) (i)는 \binom{2N+2}{0},\binom{2N+2}{2N} \equiv 1, \binom{2N+2}{N+1} \equiv 2, 그리고 그 외의 i에 대해 \binom{2N+2}{i} \equiv 0가 성립함과 동치가 된다. (mod 4로 볼 때) 그러한 2N+2\binom{2N+1}{N} = \frac{1}{2}\binom{2N+2}{N+1}이 홀수가 되는데, Lucas의 정리에 의해 그런 N2^k-1 꼴밖에 안 된다.

Solution 2. (jedaihan) HOP11

2점: jedaihan, 페르마

HOP-12. n \geq 2는 주어진 자연수이다. 만약 어떤 수 Na_i \geq 2이고 임의의 i \neq j에 대해 \gcd(a_i,a_j)=1인 자연수 a_1,\cdots,a_n에 대해 N=a_1+\cdots+a_n으로 쓸 수 있다면 N을 좋은 수라고 하자. 이 때 좋지 않은 수의 개수는 유한함을 보여라.
Proposed by Seokwon Han

Unsolved (except the proposer)

HOP-13. 양수 a_1,\cdots,a_n이 주어져 있고 그들의 합을 s라 하자. 이 때 어떤 자연수 t1=k_0 < k_1 < \cdots < k_t =n+1이 존재하여 \sum_{i=0}^{t-1} k_{i+1}a_{k_{i}} < 3s가 성립함을 보여라.
Proposed by Joonhyuk Lim

Unsolved (except the proposer)

현재까지의 총점
렐릭 3 | 마 나가하 2 | 박지훈 2 | 블레임 8 | 엔스 2 | 조재진 0 | 페르마 5 | Akiyama 2 | c jackal 4 | cdycalvin 2 | emoticon 1 | geniusmm 2 | jedaihan 7

현재까지의 Proposal 수
박지훈 1 | 서윤석 1 | 임준혁 1 | 한민기 2 | 한석원 1

HOP #3

HOP #3 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 9월 18일 ~ 2010년 10월 1일 23시 59분

HOP-10. 서로 다른 세 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\left( \frac{a^2 -bc}{b-c} \right)^2 + \left( \frac{b^2-ca}{c-a} \right)^2 + \left( \frac{c^2-ab}{a-b} \right)^2 \geq 2(a+b+c)^2
Proposed by Minki Han

HOP-11. 임의의 양의 정수 N에 대해 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(i) 임의의 0 \leq r \leq N에 대해 \binom{2N}{r} \equiv r+1\text{ (mod }4\text{)}이다.
(ii) N=2^n-1인 양의 정수 n이 존재한다.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-12. n \geq 2는 주어진 자연수이다. 만약 어떤 수 Na_i \geq 2이고 임의의 i \neq j에 대해 \gcd(a_i,a_j)=1인 자연수 a_1,\cdots,a_n에 대해 N=a_1+\cdots+a_n으로 쓸 수 있다면 N을 좋은 수라고 하자. 이 때 좋지 않은 수의 개수는 유한함을 보여라.
Proposed by Seokwon Han

HOP-13. 양수 a_1,\cdots,a_n이 주어져 있고 그들의 합을 s라 하자. 이 때 어떤 자연수 t1=k_0 < k_1 < \cdots < k_t =n+1이 존재하여 \sum_{i=0}^{t-1} k_{i+1}a_{k_{i}} < 3s가 성립함을 보여라.
Proposed by Joonhyuk Lim

HOP #2 Result

HOP-5. 양의 정수 m,n에 대해 ((x+y)^m-x^m)^n+((x+y)^n-y^n)^m-(x+y)^{mn}의 모든 계수가 0 이상임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

Solution 1. (Official) y=1로 두고 x^s의 계수를 본다. ((x+1)^m-x^m)^n = \left( \sum_{i=0}^{m-1} \binom{m}{i}x^i \right)^n임에서 이것의 x^s의 계수는 \sum_{c_1+\cdots +c_n=s,0 \leq c_i \leq m-1} \binom{m}{c_1} \cdots \binom{m}{c_n}이다. 이것은 m \times n 모양의 격자에 O,X를 써넣되 i열에 c_i개의 O를 쓰고 (단 0 \leq c_i \leq m-1) 총 s개의 O를 쓰는 경우의 수가 된다. 즉, 이것은 모든 열마다 적어도 하나의 X가 존재하도록 하는 경우의 수가 된다. 그런 격자의 집합을 A라 한다.
한 편, ((x+1)^n-1)^m = \left( \sum_{j=1}^n \binom{n}{j}x^j \right)^m에서 x^s의 계수는 \sum_{r_1+\cdots+r_m=s,1\leq r_j \leq n} \binom{n}{r_1}\cdots \binom{n}{r_m}이 되어 이는 똑같은 모양의 직사각형에서 j행에 r_j개의 O를 쓰고 (단 1 \leq r_j \leq n) 총 s개의 O를 쓰는 경우의 수가 된다. 즉, 모든 행마다 적어도 하나의 O가 존재하는 경우의 수가 된다. 그런 격자의 집합을 B라 하고, m \times ns개의 O을 써넣는 모든 경우의 집합을 U라 하자.
만약 A^c \cap B^c \neq \emptyset이라면 A^c \cap B^c의 한 원소는 적어도 하나의 열이 있어 X를 포함하지 않고 적어도 한 행이 있어 O를 포함하지 않는다. 이는 불가능하므로 A^c \cap B^c = \emptyset \Leftrightarrow A \cup B=U를 얻는다. 따라서 |A|+|B| \geq |U|가 되는데 |U| = \binom{mn}{s}(x+1)^{mn}에서의 x^s의 계수이다. 따라서 문제가 증명됨.

Comment. c jackal 님의 풀이가 거의 비슷했다.

2점: c jackal

HOP-6. 실수 x,y,z \geq 1에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{1}{3}
Proposed by Jihoon Park

Solution 1. (Official) 원래의 부등식은 통분후 정리하면 6(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx+3)과 동치이다. 이 때 (x+y+z)(xy+yz+zx+3) \geq 2(x+y+z)^2가 성립한다. (x=a+1,y=b+1,z=c+1이라 하면 이 식은 ab+bc+ca \geq 0과 동치가 된다.) 따라서 우변은 2(x+y+z)^2 \geq 6(xy+yz+zx)가 되어 부등식이 성립한다. 등호는 x=y=z=1일 때 성립.

Solution 2. (jedaihan) \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{2}{x+y+z} - \frac{3}{(x+y+z)^2}
= \frac{1}{3}(1- (1- \frac{3}{x+y+z})^2) \leq \frac{1}{3}.

Comment. 다른 분들의 풀이가 거의 다 이 풀이와 비슷했다.

2점: 렐릭, 마 나가하, 페르마, c jackal, cdycalvin, geniusmm, jedaihan
1점: emoticon
(맨 마지막 과정에서 조금 더 설명이 필요하고 (음수와 양수의 곱 등의 경우를 완벽히 따져주는 것 등) 등호조건에서 실수가 있네요)

HOP-7. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 \gamma_1,\gamma_2가 선분 BC, 직선 AI에 접하며 ABC의 외접원과 내접하고 각각 \angle BAI\angle CAI 내부에 놓인다고 한다. \gamma_1,\gamma_2BCD,E에서 접한다고 한다. \displaystyle \frac{AC \cdot BD}{DC} = \frac{AB \cdot CE}{EB}임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

Unsolved (except the proposer)

HOP-8. 임의의 소수 p와 정수 u,v에 대해 p|uv-n이면 p|f(u)f(v)-m이 성립하는 정수 m,n과 정수 계수 다항식 f를 모두 구하여라.
Proposed by Minki Han

Unsolved (except the proposer)

0점: emoticon (중간에 비약이 심한데다 답도 틀렸습니다. 다른 답이 더 있습니다. 무엇보다 “f(uv)를 해결할수 있는조건을 생각하면서 정수론적함수까지 고려하면 코시 함수방정식을 만족해야함을 알수있다”란 문장을 이해하기가 힘드네요.), cdycalvin (비슷한 이유입니다. f가 일차식이란 보장이 없습니다. 또한 역시 답이 틀렸습니다.)

HOP-9. 삼각형 ABC에서 변 AB. AC와 접하고 ABC의 외접원에 내접하는 원을 P_a라 하고. AB,AC와 접하고 ABC의 외접원에 외접하는 원을 Q_a라 하자. 마찬가지로 P_b,P_c,Q_b,Q_c를 정의한다. 이 때 P_a,P_b,P_c의 근심과 Q_a,Q_b,Q_c의 근심을 연결한 선분의 중점은 ABC의 외심임을 보여라.
Proposed by Yoonsuk Seo

Unsolved (except the proposer)

현재까지의 총점
렐릭 2 | 마 나가하 2 | 박지훈 2 | 블레임 8 | 엔스 2 | 조재진 0 | 페르마 3 | c jackal 4 | cdycalvin 2 | emoticon 1 | geniusmm 2 | jedaihan 4

현재까지의 Proposal 수
박지훈 1 | 서윤석 1 | 한민기 1

HOP 출제시 유의사항

– 단 문제를 출제할 때에는 반드시 명확한 풀이를 첨부하여 주십시오.

룰북에 명시되어 있는데, 문제 출제시엔 풀이를 꼭 첨부해주세요. 저도 생업에 종사해야 하는지라 하나하나 직접 다 풀어보는 것은 조금 힘듭니다. 감사합니다.

HOP #2

HOP #2 (HOP에 대한 자세한 설명은 설명글을 참조)
기한: 2010년 9월 4일 ~ 2010년 9월 17일 23시 59분

HOP-5. 양의 정수 m,n에 대해 ((x+y)^m-x^m)^n+((x+y)^n-y^n)^m-(x+y)^{mn}의 모든 계수가 0 이상임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-6. 실수 x,y,z \geq 1에 대해 다음 부등식을 증명하여라.
\displaystyle \frac{2}{x+y+z} - \frac{1}{xy+yz+zx} \leq \frac{1}{3}
Proposed by Jihoon Park

HOP-7. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 \gamma_1,\gamma_2가 선분 BC, 직선 AI에 접하며 ABC의 외접원과 내접하고 각각 \angle BAI\angle CAI 내부에 놓인다고 한다. \gamma_1,\gamma_2BCD,E에서 접한다고 한다. \displaystyle \frac{AC \cdot BD}{DC} = \frac{AB \cdot CE}{EB}임을 보여라.
Proposed by Sungyoon Kim

HOP-8. 임의의 소수 p와 정수 u,v에 대해 p|uv-n이면 p|f(u)f(v)-m이 성립하는 정수 m,n과 정수 계수 다항식 f를 모두 구하여라.
Proposed by Minki Han

HOP-9. 삼각형 ABC에서 변 AB. AC와 접하고 ABC의 외접원에 내접하는 원을 P_a라 하고. AB,AC와 접하고 ABC의 외접원에 외접하는 원을 Q_a라 하자. 마찬가지로 P_b,P_c,Q_b,Q_c를 정의한다. 이 때 P_a,P_b,P_c의 근심과 Q_a,Q_b,Q_c의 근심을 연결한 선분의 중점은 ABC의 외심임을 보여라.
Proposed by Yoonsuk Seo