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직선 OI 위의 점들

2007년에 썼던 글을 조금 다듬어서 다시 올린다.

그동안 몇 가지 세 쌍의 직선들이 한 점에서 만나는 사실을 관찰했는데, 그 점들 대부분이 직선 OI에 놓이게 되는 사실이 있었기에 그 점들을 소개하고자 한다.

(1) 삼각형 ABC와 닮음이며 ABC의 내접원에 내접하는 삼각형 중 대응변이 평행인 삼각형은 두 개 있다. 그 중 대응되는 점의 거리가 더 가까운 것을 생각하고, 그 닮음의 중심을 C_1이라 한다. 이 때 이 삼각형에서 ABC에의 닮음변환을 생각하면 내접원이 외접원이 되므로 C_1, O, I는 한 직선 위에 있으며, \frac{IP}{OI} = \frac{r}{R-r}가 성립한다.

(2) 이번엔 두 삼각형 중 나머지, 즉 대응되는 점의 거리가 더 먼 것의 닮음의 중심을 C_2라 한다. 그러면 역시 마찬가지 이유로 C_2, O, I가 한 직선 위에 있으며, \frac{IC_2}{OI} = \frac{-r}{R+r}가 된다. (-의 의미는 반직선 OI와 IQ의 방향이 다름을 의미한다.)

(3) ABC의 내접원과의 접점으로 이루어진 삼각형의 구점원의 중심을 X라 하면, O, I, X가 한 직선 위에 있게 된다. 이는 반전에 의한 풀이 혹은 벡터에 의한 풀이로 구할 수 있다. 이 때 벡터에 의한 풀이를 연장하면 \frac{IX}{OI} = \frac{r}{2R}을 얻는다.

(4) 삼각형 ABC의 내접원이 각 변에 접하는 점을 P,Q,R이라 한다. 외접원에 내접하고 내접원과는 P, Q, R에서 외접하는 원들을 잡고 그들과 외접원의 접점을 P', Q', R'이라 한다. 이 때 P'P, Q'Q, R'R는 한 점에서 만나는데 이는 바로 (2)의 C_2가 된다.

(5) 위와 같은 상황에서, AP', BQ', CR'는 한 점에서 만나는데, 그를 K라 하면 \frac{IK}{OI} = \frac{2r}{2R-r}가 된다.

(6) 삼각형 ABC의 외접원과는 A,B,C에서 내접하고 내접원과는 외접하는 원들이 내접원과 접하는 점을 P, Q, R이라 한다. 그러면 AP, BQ, CR은 한 점에서 만나는데 그것은 역시 (2)의 C_2가 된다.

(7) 이번엔 A,B,C에 내접하고 내접원과는 내접하는 원들의 접점을 P, Q, R이라 하면 AP, BQ, CR은 한 점에서 만나며 그것은 이번엔 (1)의 C_1가 된다.

즉 결론적으로 OI 위에 C_1, C_2, X, K를 잡을 수 있는 것이 된다. 증명은 간단한 경우가 많으니 한 번 직접 시도해보길.