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1986 IMO Short-list 기하 문제와 관련 부등식

원래 1986년 쇼트리스트 문제 중에 다음과 같은 문제가 있었다.

삼각형 ABC의 외심을 O, 내심을 I, 내접원과 세 변의 접점을 D,E,F, 삼각형 DEF의 구점원의 중심을 X라 하자. O,I,X가 일직선 위에 있음을 증명하여라.

이 문제에서 조금 더 나아가 길이를 비교하여 다음 기하 부등식을 얻어낼 수 있다. (정확히는 그 길이의 비를 구할 수 있다.) 대략 2006년 쯤에 발견한 결과로 기억한다.

OI \geq 4IX임을 보여라.

앞의 문제를 (a), 뒤의 문제를 (b)라 한다.

First Solution. (a) 삼각형 DEF에서 외심이 I이고 구점원의 중심이 X이므로, 무게중심을 G라 하면 IX=\frac{3}{2}IG이며 I,X,G는 일직선 위에 있다. 이제 O,I,G가 일직선 위에 오며 OI \geq 6IG임을 보이자.
\vec{OA}=\vec{a}이라 하고 나머지도 마찬가지로 정의한다. \vec{OI}=\sum \frac{a}{a+b+c}\vec{a}이며 \vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OD}+\vec{OE}+\vec{OF})=\frac{1}{3}\sum \frac{s-c}{a}\vec{b}+\frac{s-b}{a}\vec{c}=\sum \frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})\vec{a}이고 \vec{0}=\sum \sin{2A} \vec{a}이므로 O,I,G가 일직선 위에 있음을 보이기 위해 \vec{OG}\vec{OI}의 스칼라 배수임을 보이면 되고, 그를 위해 \vec{OG}+k\vec{0}=l\vec{OI}가 되는 상수 k,l이 존재함을 보이면 된다. 여기서 la,b,c에 대한 대칭식이 될 것이므로, \vec{OG}+k\vec{0}\vec{OI}\vec{a}의 계수의 비율이 l, 즉 대칭식이 되게 하는 대칭식 k를 잡으면 된다. 그 비율은 \displaystyle \frac{\frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})+k\sin{2A}}{\frac{a}{a+b+c}}이므로 이를 계산하자.

\displaystyle \frac{\frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})+k\sin{2A}}{\frac{a}{a+b+c}}
\displaystyle = \frac{a+b+c}{3}\frac{\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b}+3k\sin{2A}}{a}
\displaystyle = \frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+3kbc\sin{2A})이므로, \vec{b}의 계수는 \displaystyle \frac{a+b+c}{3abc}(a(s-a)+c(s-c)+2kac\sin{2B})이므로 두 값이 로 같음은 곧 \displaystyle b(x-b)+c(s-c)+3kbc\sin{2A}=a(s-a)+c(s-c)+3kac\sin{2B}임과 동치이다. 여기에서 3kc(b\sin{2A}-a\sin{2B})=a(s-a)-b(s-b)=(a-b)s-(a-b)(a+b)=-(a-b)(s-c)가 되어
\displaystyle k=\frac{-(a-b)(s-c)}{3c(b\sin{2A}-a\sin{2B})}=\frac{-(a-b)(s-c)}{6bc\frac{a}{2R}\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}-6ac\frac{b}{2R}\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}
\displaystyle =\frac{2R}{3}\frac{-(a-b)(s-c)}{-(a-b)(a+b)^2+(a-b)c^2} = \frac{2R}{3}\frac{s-c}{(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{R}{3(a+b+c)}가 된다. 따라서 대칭식이 되어 증명이 끝난다.

(b) 앞의 결과에서 k=\frac{R}{3(a+b+c)}를 대입하자. 그러면
\displaystyle l=\frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+\frac{R}{a+b+c}2bc \sin{A} \cos{A}) = \frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+\frac{R}{a+b+c}\frac{a}{2R}(-a^2+b^2+c^2))
\displaystyle = \frac{1}{6abc}(-\sum_{cyc}a^3+\sum_{sym}a^2b+4abc)=\frac{1}{6abc}((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+6abc)
이다. 곧 \displaystyle \frac{OG}{OI}=\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{6abc}+1이므로 \displaystyle \frac{IG}{OI}=\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{6abc}가 된다. IX=\frac{3}{2}IG임에서 \displaystyle \frac{IX}{OI}=\frac{1}{4}\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc} \leq \frac{1}{4}가 되어 OI \geq 4IX가 성립한다.

Second Solution. (a) 내접원과 BC,CA,AB의 접점을 D,E,F라 하자. 그리고 EF,FD,DE의 중점을 각각 P,Q,R이라 하자. 그러면 XPQR의 외심이다. 삼각형 AEF는 이등변 삼각형이므로 A,P,I는 한 직선 위에 있게 된다. (I는 내심으로 각 A의 이등분선 위에 있음) 이 때 \angle{APF}=\angle{AFI}=\frac{\pi}{2}이고 \angle{PAF}=\angle{FAI}이므로 삼각형 PAF와 삼각형 FAI는 닮음이다. 따라서 IP:IF=IF:IA, 즉 IA \cdot IP=IF^2이다. 이 때 내접원의 반지름의 길이를 r이라 하면 IA \cdot IP=r^2이다. 마찬가지로 IB \cdot IQ = IC \cdot IR = r^2임을 얻을 수 있으므로, 이 평면을 ABC의 내접원에 대해 반전하면 A \rightarrow P,B\rightarrow Q,C \rightarrow R이 되므로 ABC의 외접원은 PQR의 외접원으로 반전된다.

한 편, 이 외접원을 반전할 때 원래의 중심을 O라 하면, 반전된 후의 도형인 원의 중심은 X가 된다. 원래의 원은 직선 OI에 대해 대칭이므로 그 반전 역시 직선 OI의 반전, 즉 직선 OI에 대해 대칭이어야 한다. 따라서 X가 직선 OI 위에 있어야 하고 이는 O,I,X가 일직선 위에 있음을 증명하는 것이 된다. 이로써 증명은 끝난다.

(b) 직선 OI 위에서 생각하자. 이 수직선 위에서 I의 좌표를 0이라 하면 O의 좌표는 OI=\sqrt{R^2-2Rr}가 된다. 곧 외접원의 지름 양 끝점은 \sqrt{R^2-2Rr} \pm R이 되어 원 X의 지름 양 끝점은 \frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr} \pm R}가 된다. 따라서 X의 좌표는 \displaystyle \frac{1}{2}(\frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr}+R}+\frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr}-R})=-\frac{r}{2R}\sqrt{R^2-2Rr}이 되므로 \frac{IX}{OI}=\frac{r}{2R} \leq \frac{1}{4}가 되어 증명된다.

Third Solution. OI^2 \geq 16IX^2를 보인다. 삼각형 DEF의 수심을 H이라 하면 구점원의 중심은 IH의 중점이다. IH^2=9r^2-(DE^2+EF^2+FD^2)이므로 IX^2=\frac{1}{4}(9r^2-\sum DE^2)이다. DE=2r \cos \frac{C}{2}이므로
\displaystyle 16IX^2 = 4(9r^2-4r^2(\sum \cos^2\frac{A}{2}))=4(9r^2-4r^2 \sum \frac{1+\cos A}{2})
\displaystyle = 12r^2-8r^2 \sum cos A인데, \sum \cos A = 1+\frac{r}{R}이므로 16IX^2=12r^2-8r^2(1+\frac{r}{R})가 된다. 따라서
\displaystyle R^2-2Rr=OI^2 \geq 16IX^2
\displaystyle \Leftrightarrow R^2-2Rr \geq 12r^2 -8r^2(1+\frac{r}{R})
\displaystyle \Leftrightarrow R^3-2R^2r-4Rr^2+8r^3 \geq 0
\displaystyle \Leftrightarrow (R-2r)^2(R+2r) \geq 0
인데 이 부등식은 성립하므로, 원래 부등식이 성립한다.