Posts Tagged ‘ 하계 세미나 문제코너 ’

JMO 하계 세미나 문제코너 #38

2010년 9월 10일 갱신된 문제.

n은 양의 정수이다. xy 평면 위에 n^2개의 점 (i,j)가 있어 i,j는 1 이상 n 이하의 정수라 한다. 이 점들 중에서 몇 개에 돌을 놓는다. 다음 조건을 만족해야 할 때, 돌을 놓을 수 있는 점의 개수의 최댓값을 구하여라.
조건: 한 직선 위에 있지 않는 어떤 네 개의 돌도 “좋은 등변 사다리꼴”의 네 꼭지점이 될 수 없다. 여기서 “좋은 등변 사다리꼴”이란, 등변 사다리꼴 (직사각형도 포함) 중에 평행인 두 변이 x축 혹은 y축과 평행한 것이라 한다.

Advertisements

JMO 하계 세미나 문제코너 #37

일본에서는 일본 수학 올림피아드 하계 세미나 문제코너란 것이 있어서 온라인으로 문제를 출제하고 그 답안을 걷어 채점을 한다. 다음은 2010년 8월 10일 갱신된 내용.

n을 양의 정수라 하고, 0 이상 n 미만인 정수 전체의 집합을 A라 하자. f:A \longrightarrow A이며 임의의 m \in A에 대해 f(m)=\# f^{-1}(m)을 만족하는 함수 f의 개수를 구하여라. 단, f^{-1}(m)A의 원소 k 중에 f(k)=m을 만족하는 원소들의 집합이다. 또한, 집합 X에 대해 \#XX의 원소의 개수를 뜻한다.