Posts Tagged ‘ APMO ’

2010 APMO

올해 열렸던 APMO (아시아 태평양 수학 올림피아드) 문제. 5시간 4문제.

1. 삼각형 ABC에서 \angle BAC \neq \frac{\pi}{2}이다. 이 삼각형의 외심을 O라 하고 삼각형 BOC의 외접원을 \Gamma라 하자. \Gamma가 선분 ABP \neq B에서 만나고, 선분 ACQ \neq C에서 만난다고 한다. \Gamma의 지름을 ON이라 하자. 이 때 사각형 APNQ는 평행사변형임을 보여라.

2. 양의 정수 k에 대해, 어떤 정수 m이 있어 m^k로 표현되는 정수를 k-제곱수라 부르자. 임의의 자연수 n에 대해, n개의 서로 다른 정수가 있어 그들의 합은 2009-제곱수이고 그들의 곱은 2010-제곱수가 되게 할 수 있음을 보여라.

3. n은 양의 정수이다. n명의 사람이 어느 파티에 참가했다. 참가자 중 임의의 두 명을 뽑아도, 그 둘은 서로 알고 있거나 서로 모르고 있다. 이 때 어느 두 사람이 서로 모르는 사이이지만 그들이 동시에 아는 사람이 존재하는 경우는 최대 몇 개인가?

4. 예각삼각형 ABCAB > ACAC > BC를 만족한다. 삼각형 ABC의 외심, 수심을 각각 O,H라 하자. 삼각형 AHC의 외접원이 직선 ABM \neq A에서 만나고 AHB의 외접원이 직선 ACN \neq A에서 만난다고 한다. 이 때 삼각형 MNH의 외심은 직선 OH 위에 있음을 보여라.

5. 임의의 x,y,z \in \mathbb{R}에 대해 다음을 만족하는 함수 f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}를 모두 구하여라.
f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)

Advertisements