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2010 CGMO

중국에서 8월 10일~11일에 열린 China Girls’ Mathematical Olympiad (중국 여자 수학 올림피아드). 몰랐는데 2007년 이후로는 다른 나라의 팀도 참여가 가능하다고 한다. 미국에서도 8명이 참가했다고 하고, 후배 신재의의 소식도 들을 수 있었다. 이것을 볼진 모르겠으나 금메달 축하축하

문제는 다음과 같다. 1~4번은 첫째날 (8/10) 4시간, 5~8번은 둘째날 (8/11) 4시간.

1. n은 2보다 큰 정수이고, A_1,A_2,\cdots,A_{2n}\{ 1,2,\cdots,n \}의 서로 다른 부분집합들이다. 이 때 다음 값의 최댓값을 구하여라.
\displaystyle \sum_{i=1}^{2n} \frac{|A_i \cap A_{i+1}|}{|A_i| \cdot |A_{i+1}|}
(여기서 A_{2n+1}=A_1로 놓는다. 집합 X에 대해 |X|X의 원소의 개수를 뜻한다.)

2. 삼각형 ABCAB=AC를 만족한다. D는 변 BC의 중점이다. 점 E가 삼각형 ABC의 외부에 놓여 있어 CE \perp ABBE=BD를 만족한다고 한다. BE의 중점을 M이라 하자. 삼각형 ABC의 외접원의 열호 AD 위에 점 F가 있어 MF \perp BE가 성립한다고 한다. ED \perp FD임을 보여라.

3. 임의의 주어진 양의 정수 n에 대해,다음을 만족시키는 소수 p와 정수 m이 존재함을 보여라.
(a) p \equiv 5\text{ (mod }6\text{)};
(b) p \not | n;
(c) n \equiv m^3\text{ (mod }p\text{)}

4. x_1^2+\cdots+x_n^2=1을 만족하는 실수 x_1,\cdots,x_n에 대해 다음을 증명하여라.
\displaystyle \sum_{k=1}^n \left( 1- \frac{k}{\sum_{i=1}^n ix_i^2} \right)^2 \leq \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^2 \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{k}
등호는 언제 성립하는가?

5. f(x),g(x)\mathbb{R}에서 \mathbb{R}로 대응되는 강증가 선형 함수로, f(x)가 정수임과 g(x)가 정수임이 동치이다. 이 때 임의의 실수 x에 대해 f(x)-g(x)가 정수임을 보여라.

6. 예각 삼각형 ABC에서 AB > AC이다. BC의 중점을 M이라 하자. \angle{BAC}의 외각의 이등분선이 반직선 BCP에서 만난다. 점 K,F가 직선 PA 위에 있어 MF \perp BCMK \perp PA가 성립한다. BC^2=4PF \cdot AK임을 보여라.

7. 주어진 정수 n \geq 3에 대해, S=\{ p_1,p_2,\cdots,p_m \}(1,2,\cdots,n)의 순열들 p_i의 집합이라 하자. \{1,2,\cdots,n \}의 임의의 서로 다른 세 원소에 대해, 이 중 한 수는 임의의 순열 p_i를 보더라도 나머지 두 수의 사이에 놓이지 않는다고 한다. (예를 들어, 순열 (1,3,2,4)에서 3은 1과 4의 사이에 놓이고 4는 1과 2의 사이에 놓이지 않는다.) m의 최댓값을 구하여라.

8. 다음 조건을 만족하는 최소의 홀수 a>5를 구하여라: 양의 정수 m_1,m_2,n_1,n_2가 있어 a=m_1^2+n_1^2,a^2=m_2^2+n_2^2가 성립하며 m_1-n_1=m_2-n_2이다.