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2011 FKMO Day 1

3/26 토요일에 치뤄진 최종시험 1일차.

1. 다음 부정방정식의 양의 정수 해 x,y,z는 존재하지 않음을 증명하여라.
x^2y^4 - x^4y^2 + 4x^2y^2z^2 + x^2z^4 - y^2z^4=0

2. 예각삼각형 ABC의 변 BC 위에 B,C가 아닌 점 P가 주어져 있다. 삼각형 ABC의 수심 H에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 D라 하고 삼각형 ABD,ACD의 외접원을 각각 \Gamma_1,\Gamma_2라 하자. 점 D를 지나며 변 BC에 평행한 직선이 \Gamma_1,\Gamma_2와 만나는 점 중 D가 아닌 점을 X,Y라 하고 AB,AC와 만나는 점을 E,F라 하자. 두 직선 XB,YC의 교점을 Z라 하면 BP=CPZE=ZF가 동치임을 보여라.

3. 남학생 a_1,\cdots,a_n과 여학생 b_1,\cdots,b_n이 있다. 같은 성을 갖는 학생들끼리는 악수를 하지 않았고, 임의의 1\leq i \leq n에 대해 a_i,b_i는 서로 악수를 하지 않았다고 한다. 이들을 다음 조건을 만족하는 소그룹들로 분할하고자 한다.
(a) 소그룹 안의 남학생 수와 여학생 수가 같다.
(b) 소그룹 안의 임의의 두 학생을 뽑아도 서로 악수를 하지 않았다.
서로 악수를 한 학생의 쌍의 개수가 m일 때, 소그룹의 개수를 2 또는 \frac{2m}{n}+1 이하가 되도록 할 수 있음을 보여라.

1번과 2번은 빨리 풀리는데 3번이 좀 어려운 것 같다.

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