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2011 FKMO Day 2

4. a,b,c \geq 0a+b+c=1을 만족할 때, \sum_{cyc} \frac{1}{a^2-4a+9}의 최댓값을 구하여라.

5. AC<AB<BC를 만족하는 삼각형 ABC에 대해 AC=AD인 점 DAB 위에 잡는다. 삼각형 ABC의 외접원이 각 A의 이등분선과 만나는 점을 E \neq A라 하고, CD와 만나는 점을 F \neq C라 한다. BC,DE의 교점을 K라 할 때, DK \cdot EF = AC \cdot DFCK=AC가 동치임을 보여라.

6. 가로 m칸, 세로 n칸으로 총 mn칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판이 있다. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써 넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 R에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 정수 h가 존재하면 R을 '선반'이라 하자.
(a) 직사각형 R에 속한 모든 칸에 적힌 수는 h보다 크다.
(b) 직사각형 R의 외부의 칸 중에서, R에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 h 이하이다.
선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그 때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?

2011 FKMO Day 1

3/26 토요일에 치뤄진 최종시험 1일차.

1. 다음 부정방정식의 양의 정수 해 x,y,z는 존재하지 않음을 증명하여라.
x^2y^4 - x^4y^2 + 4x^2y^2z^2 + x^2z^4 - y^2z^4=0

2. 예각삼각형 ABC의 변 BC 위에 B,C가 아닌 점 P가 주어져 있다. 삼각형 ABC의 수심 H에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 D라 하고 삼각형 ABD,ACD의 외접원을 각각 \Gamma_1,\Gamma_2라 하자. 점 D를 지나며 변 BC에 평행한 직선이 \Gamma_1,\Gamma_2와 만나는 점 중 D가 아닌 점을 X,Y라 하고 AB,AC와 만나는 점을 E,F라 하자. 두 직선 XB,YC의 교점을 Z라 하면 BP=CPZE=ZF가 동치임을 보여라.

3. 남학생 a_1,\cdots,a_n과 여학생 b_1,\cdots,b_n이 있다. 같은 성을 갖는 학생들끼리는 악수를 하지 않았고, 임의의 1\leq i \leq n에 대해 a_i,b_i는 서로 악수를 하지 않았다고 한다. 이들을 다음 조건을 만족하는 소그룹들로 분할하고자 한다.
(a) 소그룹 안의 남학생 수와 여학생 수가 같다.
(b) 소그룹 안의 임의의 두 학생을 뽑아도 서로 악수를 하지 않았다.
서로 악수를 한 학생의 쌍의 개수가 m일 때, 소그룹의 개수를 2 또는 \frac{2m}{n}+1 이하가 되도록 할 수 있음을 보여라.

1번과 2번은 빨리 풀리는데 3번이 좀 어려운 것 같다.

2010 FKMO #1

다음은 올해 3월 27일에 있었던 KMO 최종시험, 통칭 FKMO에서 1번으로 나온 문제이다.

삼각형 ABC의 내접원이 BC,CA,AB와 접하는 점을 각각 P,Q,R이라 하자. 삼각형 ABC의 넓이를 T, 둘레의 길이를 L이라 할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\displaystyle \left( \frac{AB}{PQ} \right)^3 + \left( \frac{BC}{QR} \right)^3 + \left( \frac{CA}{RP} \right)^3 \geq \frac{2}{\sqrt{3}}\frac{L^2}{T}

먼저 BC=a,CA=b,AB=c라 할 때 QR의 길이들을 구하자. 이는 s=\frac{a+b+c}{2}이라 할 때 AQ=AR=s-a이므로 QR=2(s-a)\sin{\frac{A}{2}}이다. 여기서 x=\frac{-a+b+c}{2}, y=\frac{a-b+c}{2},z=\frac{a+b-c}{2}라 하면 \displaystyle (LHS) = \sum_{cyc} \left( \frac{y+z}{2x \sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}} \right)^3가 된다.

이제 산술기하 평균 부등식을 적용하면 \displaystyle (LHS) \geq 3\prod_{cyc} \left( \frac{y+z}{2x \sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}} \right) = 3 \frac{(y+z)^2(z+x)^2(x+y)^2}{8x^2 y^2 z^2}가 된다. 한 편, \displaystyle (RHS)=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{4(x+y+z)^2}{\sqrt{xyz(x+y+z)}}이므로 \displaystyle 3 \frac{(y+z)^2(z+x)^2(x+y)^2}{8x^2 y^2 z^2} \geq \frac{2}{\sqrt{3}}\frac{4(x+y+z)^2}{\sqrt{xyz(x+y+z)}}임을 보이면 된다. 이를 정리하면 \displaystyle ((y+z)(z+x)(x+y))^2 \geq \frac{64}{3\sqrt{3}}(x+y+z)^{3/2}(xyz)^{3/2}이다.

이를 증명하기 위해 \displaystyle (y+z)(z+x)(x+y) \geq \frac{8}{3} (x+y+z)(xyz)^{2/3}임을 보이자. 이는 x,y,zx^3,y^3,z^3을 대입한 후에 정리하면 \displaystyle 3\sum_{sym}x^6y^3+6x^3y^3z^3 \geq 8\sum_{cyc}x^5y^2z^2가 된다. 이를 증명하자.

산술기하 평균 부등식, 혹은 Muirhead 부등식에 의해 \displaystyle \sum_{sym}x^6y^3z^3 \geq 2\sum_{cyc}x^6y^{3/2}z^{3/2}가 성립한다. 따라서 \displaystyle 6\sum_{cyc}x^6y^{3/2}z^{3/2}+6x^3y^3z^3 \geq 8\sum_{cyc}x^5y^2z^2임을 보이면 된다. 또 x,y,zx^2,y^2,z^2를 대입한 후 정리한 다음 양변을 2x^3y^3z^3으로 나누면 \displaystyle 3\sum_{cyc}x^9+3x^3y^3z^3 \geq 4\sum_{cyc}x^7yz가 되므로 이것만 보이면 된다.

이를 위해 산술기하 평균 부등식으로 먼저 x^9+x^9+x^3y^3z^3 \geq 3x^7yz임을 보인다. 여기에서 \displaystyle 2\sum_{cyc}x^9+3x^2y^2z^2 \geq 3\sum_{cyc}x^7yz임을 보일 수 있다. 여기에 \sum_{cyc}x^9 \geq \sum_{cyc} x^7yz가 산술기하 평균 부등식 혹은 Muirhead 부등식으로 성립하므로 더해주면 원하는 결과가 증명이 된다.

등호는 x=y=z, 즉 a=b=c이므로 삼각형 ABC가 정삼각형일 때 성립한다.