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1986 IMO Short-list 기하 문제와 관련 부등식

원래 1986년 쇼트리스트 문제 중에 다음과 같은 문제가 있었다.

삼각형 ABC의 외심을 O, 내심을 I, 내접원과 세 변의 접점을 D,E,F, 삼각형 DEF의 구점원의 중심을 X라 하자. O,I,X가 일직선 위에 있음을 증명하여라.

이 문제에서 조금 더 나아가 길이를 비교하여 다음 기하 부등식을 얻어낼 수 있다. (정확히는 그 길이의 비를 구할 수 있다.) 대략 2006년 쯤에 발견한 결과로 기억한다.

OI \geq 4IX임을 보여라.

앞의 문제를 (a), 뒤의 문제를 (b)라 한다.

First Solution. (a) 삼각형 DEF에서 외심이 I이고 구점원의 중심이 X이므로, 무게중심을 G라 하면 IX=\frac{3}{2}IG이며 I,X,G는 일직선 위에 있다. 이제 O,I,G가 일직선 위에 오며 OI \geq 6IG임을 보이자.
\vec{OA}=\vec{a}이라 하고 나머지도 마찬가지로 정의한다. \vec{OI}=\sum \frac{a}{a+b+c}\vec{a}이며 \vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OD}+\vec{OE}+\vec{OF})=\frac{1}{3}\sum \frac{s-c}{a}\vec{b}+\frac{s-b}{a}\vec{c}=\sum \frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})\vec{a}이고 \vec{0}=\sum \sin{2A} \vec{a}이므로 O,I,G가 일직선 위에 있음을 보이기 위해 \vec{OG}\vec{OI}의 스칼라 배수임을 보이면 되고, 그를 위해 \vec{OG}+k\vec{0}=l\vec{OI}가 되는 상수 k,l이 존재함을 보이면 된다. 여기서 la,b,c에 대한 대칭식이 될 것이므로, \vec{OG}+k\vec{0}\vec{OI}\vec{a}의 계수의 비율이 l, 즉 대칭식이 되게 하는 대칭식 k를 잡으면 된다. 그 비율은 \displaystyle \frac{\frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})+k\sin{2A}}{\frac{a}{a+b+c}}이므로 이를 계산하자.

\displaystyle \frac{\frac{1}{3}(\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b})+k\sin{2A}}{\frac{a}{a+b+c}}
\displaystyle = \frac{a+b+c}{3}\frac{\frac{s-b}{c}+\frac{s-c}{b}+3k\sin{2A}}{a}
\displaystyle = \frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+3kbc\sin{2A})이므로, \vec{b}의 계수는 \displaystyle \frac{a+b+c}{3abc}(a(s-a)+c(s-c)+2kac\sin{2B})이므로 두 값이 로 같음은 곧 \displaystyle b(x-b)+c(s-c)+3kbc\sin{2A}=a(s-a)+c(s-c)+3kac\sin{2B}임과 동치이다. 여기에서 3kc(b\sin{2A}-a\sin{2B})=a(s-a)-b(s-b)=(a-b)s-(a-b)(a+b)=-(a-b)(s-c)가 되어
\displaystyle k=\frac{-(a-b)(s-c)}{3c(b\sin{2A}-a\sin{2B})}=\frac{-(a-b)(s-c)}{6bc\frac{a}{2R}\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}-6ac\frac{b}{2R}\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}
\displaystyle =\frac{2R}{3}\frac{-(a-b)(s-c)}{-(a-b)(a+b)^2+(a-b)c^2} = \frac{2R}{3}\frac{s-c}{(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{R}{3(a+b+c)}가 된다. 따라서 대칭식이 되어 증명이 끝난다.

(b) 앞의 결과에서 k=\frac{R}{3(a+b+c)}를 대입하자. 그러면
\displaystyle l=\frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+\frac{R}{a+b+c}2bc \sin{A} \cos{A}) = \frac{a+b+c}{3abc}(b(s-b)+c(s-c)+\frac{R}{a+b+c}\frac{a}{2R}(-a^2+b^2+c^2))
\displaystyle = \frac{1}{6abc}(-\sum_{cyc}a^3+\sum_{sym}a^2b+4abc)=\frac{1}{6abc}((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+6abc)
이다. 곧 \displaystyle \frac{OG}{OI}=\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{6abc}+1이므로 \displaystyle \frac{IG}{OI}=\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{6abc}가 된다. IX=\frac{3}{2}IG임에서 \displaystyle \frac{IX}{OI}=\frac{1}{4}\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc} \leq \frac{1}{4}가 되어 OI \geq 4IX가 성립한다.

Second Solution. (a) 내접원과 BC,CA,AB의 접점을 D,E,F라 하자. 그리고 EF,FD,DE의 중점을 각각 P,Q,R이라 하자. 그러면 XPQR의 외심이다. 삼각형 AEF는 이등변 삼각형이므로 A,P,I는 한 직선 위에 있게 된다. (I는 내심으로 각 A의 이등분선 위에 있음) 이 때 \angle{APF}=\angle{AFI}=\frac{\pi}{2}이고 \angle{PAF}=\angle{FAI}이므로 삼각형 PAF와 삼각형 FAI는 닮음이다. 따라서 IP:IF=IF:IA, 즉 IA \cdot IP=IF^2이다. 이 때 내접원의 반지름의 길이를 r이라 하면 IA \cdot IP=r^2이다. 마찬가지로 IB \cdot IQ = IC \cdot IR = r^2임을 얻을 수 있으므로, 이 평면을 ABC의 내접원에 대해 반전하면 A \rightarrow P,B\rightarrow Q,C \rightarrow R이 되므로 ABC의 외접원은 PQR의 외접원으로 반전된다.

한 편, 이 외접원을 반전할 때 원래의 중심을 O라 하면, 반전된 후의 도형인 원의 중심은 X가 된다. 원래의 원은 직선 OI에 대해 대칭이므로 그 반전 역시 직선 OI의 반전, 즉 직선 OI에 대해 대칭이어야 한다. 따라서 X가 직선 OI 위에 있어야 하고 이는 O,I,X가 일직선 위에 있음을 증명하는 것이 된다. 이로써 증명은 끝난다.

(b) 직선 OI 위에서 생각하자. 이 수직선 위에서 I의 좌표를 0이라 하면 O의 좌표는 OI=\sqrt{R^2-2Rr}가 된다. 곧 외접원의 지름 양 끝점은 \sqrt{R^2-2Rr} \pm R이 되어 원 X의 지름 양 끝점은 \frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr} \pm R}가 된다. 따라서 X의 좌표는 \displaystyle \frac{1}{2}(\frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr}+R}+\frac{r^2}{\sqrt{R^2-2Rr}-R})=-\frac{r}{2R}\sqrt{R^2-2Rr}이 되므로 \frac{IX}{OI}=\frac{r}{2R} \leq \frac{1}{4}가 되어 증명된다.

Third Solution. OI^2 \geq 16IX^2를 보인다. 삼각형 DEF의 수심을 H이라 하면 구점원의 중심은 IH의 중점이다. IH^2=9r^2-(DE^2+EF^2+FD^2)이므로 IX^2=\frac{1}{4}(9r^2-\sum DE^2)이다. DE=2r \cos \frac{C}{2}이므로
\displaystyle 16IX^2 = 4(9r^2-4r^2(\sum \cos^2\frac{A}{2}))=4(9r^2-4r^2 \sum \frac{1+\cos A}{2})
\displaystyle = 12r^2-8r^2 \sum cos A인데, \sum \cos A = 1+\frac{r}{R}이므로 16IX^2=12r^2-8r^2(1+\frac{r}{R})가 된다. 따라서
\displaystyle R^2-2Rr=OI^2 \geq 16IX^2
\displaystyle \Leftrightarrow R^2-2Rr \geq 12r^2 -8r^2(1+\frac{r}{R})
\displaystyle \Leftrightarrow R^3-2R^2r-4Rr^2+8r^3 \geq 0
\displaystyle \Leftrightarrow (R-2r)^2(R+2r) \geq 0
인데 이 부등식은 성립하므로, 원래 부등식이 성립한다.

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2009 IMO Short-list

작년 독일 IMO의 후보 문제.

ALGEBRA

A1. 다음 조건을 만족하는 최대의 정수 k를 구하여라: 2009개의 삼각형이 주어져 있다. 임의의 삼각형에 대해 세 변을 파랑, 빨강, 하양이 하나씩 나오도록 칠한다. 이제 각각의 색깔에 대해 변의 길이들을 정렬하여 파란 변의 길이를 b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_{2009}, 빨간 변의 길이를 r_1 \leq r_2 \leq \cdots \leq c_{2009}, 하얀 변의 길이를 w_1 \leq w_2 \leq \cdots \leq w_{2009}라 하자. 이 때 k개의 j가 있어 변의 길이가 b_j,r_j,w_j인 삼각형이 존재한다.

A2. 세 양의 실수 a,b,c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c를 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{(2a+b+c)^2} \leq \frac{3}{16}

A3. 양의 정수의 집합에서 양의 정수의 집합으로 대응되는 함수 f가 임의의 x,y에 대해 x,f(y),f(y+f(x)-1)이 삼각형의 세 변의 길이가 되도록 한다. 이런 f를 모두 구하여라.

A4. ab+bc+ca \leq 3abc를 만족하는 양의 실수 a,b,c에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\displaystyle \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}} +3 \leq \sqrt{2}(\sum_{cyc}\sqrt{a+b})

A5. 실수의 집합에서 실수의 집합으로 대응되는 임의의 함수 f가 주어져 있다. 이 때 f(x-f(y))> yf(x)+x가 성립하는 실수 x,y가 존재함을 보여라.

A6. 강증가하는 수열 s_1,s_2,s_3,\cdots의 부분수열 s_{s_1},s_{s_2},\cdotss_{s_1+1},s_{s_2+1},\cdots가 등차수열이라 한다. 이 때 s_1,s_2,\cdots가 등차수열임을 보여라.

A7. 임의의 실수 x,y에 대해 다음 식이 성립하는 함수 f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.
\displaystyle f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2

COMBINATORICS

C1. 2009장의 카드가 있는데, 이 카드는 한 면은 금색이고 한 면은 검은 색이다. 이들을 일렬로, 금색 면이 앞면으로 나오도록 늘어놓는다. 두 명의 사람은 다음과 같은 시행을 번갈아가며 한다. 각 사람은 맨 왼쪽 카드가 금색 카드가 되도록 연속한 50장의 카드를 선택한 후, 이 카드들을 각각 뒤집는다. 더 이상 시행이 불가능한 시점까지 이들이 시행을 했을 때 마지막으로 시행을 한 사람이 이긴다고 한다.
(a) 이 게임은 유한 시간 내에 끝나는가?
(b) 첫 번째 사람에게 필승수가 존재하는가?

C2. 임의의 정수 n \geq 2에 대해, N(n)을 다음 조건을 만족시키는 음 아닌 정수 (a_i,b_i,c_i), i=1,\cdots,N(n)이 성립하게 하는 수의 최댓값이라 하자.
(1) 임의의 i에 대해 a_i+b_i+c_i=n
(2) i \neq j이면 a_i \neq a_j, b_i \neq b_j, c_i \neq c_j
n \geq 2에 대해 N(n)을 구하여라.

C3. e_1,...,e_{n-1}을 0,1 중에서 아무렇게나 택한다. 그리고 a_0=1, a_1=7이라 하고 (1) e_i=0이면 a_{i+1}=2a_{i-1}+3a_i, (2) e_i=1이면 a_{i+1}=3a_{i-1}+a_i가 되도록 정의하고 b_0=1, b_1=7, (1) e_{n-i}=0이면 b_{i+1}=2b_{i-1}+3b_i, (2) e_{n-i}=1이면 b_{i+1}=3b_{i-1}+b_i로 정의한다. 이 때 a_n=b_n이 성립함을 보여라.
(C3는 여기에서 풀이를 다루었다.)

C4. m \geq 1인 정수에 대해, 2^m \times 2^m 모양의 체스판을 체스판의 칸들로 이루어진 직사각형들로 분할하려 한다. 이 때, 왼쪽 밑에서 오른쪽 위로 내려가는 큰 대각선 위에 놓이는 2^m개의 칸들은 각각 길이가 1인 정사각형으로 미리 분할해놓는다. 이 때 이러한 분할들의 직사각형들의 둘레의 길이의 합의 최솟값을 구하여라.

C5. 다섯 개의 비어 있는 2리터짜리 물통이 정오각형의 각 꼭지점 위에 놓여 있다. 신데렐라와 그녀의 나쁜 계모가 다음과 같은 시행을 한다. 각 턴마다, 계모는 1리터의 물을 가까운 강에서 떠와서 다섯 개의 물통들에 임의로 나누어준다. 그러면 신데렐라는 인접한 두 개의 물통을 잘 골라서 그 물통의 물들을 강물에 버리고 다시 제자리에 되돌려 놓는다. 그리고 다음 턴이 시작된다. 계모의 목표는 물통들 중 하나라도 넘치게 만드는 것이다. 신데렐라의 목표는 그것을 막는 것이다. 나쁜 계모는 목표를 달성할 수 있을까?

C6. 999 \times 999 모양의 칸에 림프룩이란 말이 다음과 같이 움직인다. 어느 칸에 있더라도 이 말은 그에 인접한 모든 칸으로 움직일 수 있다. 단, 한 번 움직일 때마다 방향을 틀어야 한다. 즉, 연속한 두 번의 움직임은 반드시 수직이어야 한다. 림프룩의 좋은 길이란 칸들로 이루어진 수열인데 모든 칸들이 서로 다르고, 림프룩이 그 순서로 위의 조건에 맞게 움직일 수 있어야 하는 것을 뜻한다. 만약 림프룩이 좋은 길로 다 지나온 후에 한 번 더 움직여서 처음 위치로 돌아올 수 있으면 이 좋은 길을 굉장한 길이라 하자. 굉장한 길 중에서 가장 긴 길은 몇 칸을 차지하는가?

C7. 임의의 정수 n \geq 2에 대해, n의 십진법 전개에 다음 시행을 거쳐 정수 h(n)을 만든다. rn의 가장 오른쪽 끝의 자리수라 하자.
(1) 만약 r=0이면, h(n)n의 십진법 전개에서 맨 오른쪽의 0을 지워서 얻는다.
(2) 만약 1 \leq r \leq 9이면, r 이상의 자리수로 이루어진 n의 오른쪽 끝 부분 중 가장 긴 부분을 R이라 하고, 그것을 제외한 왼쪽 부분을 L이라 하자. (L은 아무 글자도 없는 공집합일 수도 있다.) 그러면 h(n)은 먼저 L을 맨 앞에 쓴 후 R-1을 두 번 써서 얻는다. 예를 들면, n=17151345543일 때 L=17151, R=345543, h(n)=17151345542345542가 된다.
임의의 정수 n \geq 2에서 시작하더라도, h를 유한번 적용시켜 마지막에 1을 만들 수 있음을 보여라.

GEOMETRY

G1. 삼각형 ABCAB=AC를 만족한다. 각 A,B의 이등분선이 변 BC,ACD,E에서 만난다. 삼각형 ADC의 내심을 K라 하고 \angle{BEK}=\frac{\pi}{4}라 한다. \angle{BAC}의 값을 구하여라.

G2. 삼각형 ABC의 외심을 O라 하자. 변 CA,AB 위에 각각 P,Q를 잡는다. 변 BP,CQ,PQ의 중점을 지나는 원 k를 잡자. 만약 직선 PQ와 원 k가 접하면 OP=OQ임을 보여라.

G3. 삼각형 ABC가 있다. 내접원이 변 AB,AC와 각각 Z,Y에서 접한다. BY,CZ의 교점을 G라 하고, 사각형 BCYRBCSZ가 평행사변형이 되도록 R,S를 잡는다. GR=GS임을 보여라.

G4. 원에 내접하는 사각형 ABCD의 대각선 AC,BDE에서 만나고 직선 AD,BCF에서 만난다. AB,CD의 중점을 각각 G,H라 하자. E,G,H를 지나는 원이 직선 EF와 점 E에서 접함을 보여라.

G5. 볼록이며 어떤 점 O에 대해 대칭인 다각형 P가 있다. 이 때 P \subset R인 평행사변형 R이 있어 \displaystyle \frac{|R|}{|P|} \leq \sqrt{2}이 되도록 할 수 있음을 보여라. 여기서 |R|,|P|는 각각 R,P의 넓이이다.

G6. 사각형 ABCD의 변 AB,CD는 평행이 아니고, AD,BC가 점 P에서 만난다. 삼각형 ABP,DCP의 외심을 각각 O_1,O_2, 수심을 각각 H_1,H_2라 하자. O_1H_1,O_2H_2의 중점을 각각 E_1,E_2라 하자. 이 때 E_1에서 CD에 내린 수선과 E_2에서 AB에 내린 수선과 H_1H_2는 한 점에서 만남을 보여라.

G7. 삼각형 ABC의 내심을 I라 하고 BIC,CIA,AIB의 내심을 각각 X,Y,Z라 하자. 삼각형 XYZ가 정삼각형이면 삼각형 ABC도 정삼각형임을 보여라.

G8. 원에 외접하는 사각형 ABCD에서 A를 지나는 직선 g가 변 BCM에서 만나고 직선 CDN에서 만난다. \triangle{ABM},\triangle{MNC},\triangle{NDA}의 내심을 각각 I_1,I_2,I_3이라 하자. 삼각형 I_1I_2I_3의 수심이 g 위에 옴을 보여라.

NUMBER THEORY

N1. 사교회에 n명이 있다. 이들은 번호 1,2,\cdots,n이 주어져 있다. 회원들은 다른 회원들에게 선물을 보내는데, 이 선물에는 그 회원이 이미 다른 회원에게서 받은 것도 포함된다. 어떤 회원이 보낸 선물을 다시 받게 되는 당혹스러운 불상사를 막기 위해, 사교회에서는 연차회의에서 다음과 같은 규칙을 발표했다.
a라는 번호를 가진 회원은 a(b-1)n의 배수여야만 b에게 선물을 보낼 수 있다.”
만약 모든 회원이 이 규칙을 따른다면, 위에서 설명한 불상사가 일어나지 않음을 보여라.

N2. 만약 N=1이거나 N이 서로 다를 필요는 없는 짝수 개의 소수의 곱으로 표현된다면 N을 균형잡힌 수라 하자. 주어진 양의 정수 a,b에 대해 다항식 PP(x)=(x+a)(x+b)로 정의하자.
(a) P(1),P(2),\cdots,P(50)이 전부 균형잡힌 수가 되는 서로 다른 양의 정수 a,b가 존재함을 보여라.
(b) 만약 모든 양의 정수 n에 대해 P(n)이 균형잡힌 수가 된다면 a=b임을 보여라.

N3. 상수함수가 아닌 함수 f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}가 있어 임의의 서로 다른 a,b에 대해 a-bf(a)-f(B)을 나눈다고 한다. 이 때 무수히 많은 소수 p가 존재하여 어떤 c에 대해 pf(c)를 나눔을 보여라.

N4. 임의의 2 \leq k \leq n-1k에 대해 a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1을 만족시키는 양의 정수 수열 a_1,a_2,\cdots,a_n이 존재하는 양의 정수 n을 모두 구하여라.

N5. P(x)는 정수계수 다항식으로 상수함수가 아니다. 이 때 임의의 n \geq 1에 대해 T^n(x)=x를 만족하는 정수 x의 개수가 P(n)이 되는 함수 T:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}가 존재하지 않음을 보여라. 단 T^n이란 Tn번 합성한 함수이다.

N6. k는 양의 정수이다. 만약 임의의 n \geq 1에 대해 a_n=\frac{a_{n-1}+n^k}{n}가 성립하는 정수 수열 a_0,a_1,\cdots가 성립하면 k-2가 3의 배수임을 보여라.

N7. a,b는 1보다 큰 서로 다른 정수이다. 이 때 (a^n-1)(b^n-1)이 완전제곱수가 아닌 양의 정수 n이 존재함을 보여라.

2009 IMO Short-list C3

이번 IMO 쇼트리스트 문제 중에서 가장 흥미로웠던 문제.

e_1,...,e_{n-1}을 0,1 중에서 아무렇게나 택한다. 그리고 a_0=1, a_1=7이라 하고 (1) e_i=0이면 a_{i+1}=2a_{i-1}+3a_i, (2) e_i=1이면 a_{i+1}=3a_{i-1}+a_i가 되도록 정의하고 b_0=1, b_1=7, (1) e_{n-i}=0이면 b_{i+1}=2b_{i-1}+3b_i, (2) e_{n-i}=1이면 b_{i+1}=3b_{i-1}+b_i로 정의한다. 이 때 a_n=b_n이 성립함을 보여라.

즉 초기값은 1,7로 고정되어 있는데, 이진 수열이 주어져 있고 그것에 따라 점화식을 바꾸면 이진 수열을 거꾸로 주더라도 결과가 같게 나온다는 것이다. 밑의 풀이를 보면 알겠지만 일반적인 경우 다 되는 것은 아니고, 1과 7, 2와 3, 3과 1이 적당히 잘 주어져서 나온 결과이다. 러시아에서 제출한 문제.

이하는 official solution.

w=\sigma_1 \cdots \sigma_n이란 이진수열이 주어져 있을 때 이것을 거꾸로 한 것을 \bar{w}=\sigma_n \cdots \sigma_1이라 한다. 또한 \emptyset을 아무 글자도 없는 이진수열이라 하자. 이제 a_n=(u,v)^w,b_n=(u,v)^{\bar{w}}꼴이 되도록 다음과 같이 (u,v)^w를 잘 정의한다.

(u,v)^{\emptyset}=v, (u,v)^0=2u+3v,(u,v)^1=3u+v
(u,v)^{w\sigma \epsilon}=2(u,v)^w+3(u,v)^{w\sigma} (\sigma는 0 또는 1이며 \epsilon=0)
(u,v)^{w\sigma \epsilon}=3(u,v)^w+(u,v)^{w\sigma} (\sigma는 0 또는 1이며 \epsilon=1)
(정의에 매달리지 말고, 이것이 수열의 정의와 어떤 연관성이 있고 왜 이렇게 정의했는지의 필연성을 느껴보길 바란다.)

이 때 다음과 같이 multilinearity가 성립함을 확인할 수 있다.
(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,\lambda_1v_1+\lambda_2v_2)^w=\lambda_1(u_1,v_1)^w+\lambda_2(u_2,v_2)^w

이제 원래 문제로 돌아간다. 그러면 w=\epsilon_1 \cdots \epsilon_{n-1}이라 하면 a_n=(1,7)^w, b_n=(1,7)^{\bar{w}}가 성립한다. 이제 w의 길이에 대한 수학적 귀납법을 적용한다. 길이가 0이나 1인 경우는 자명하고 n \geq 2라 가정하자. 여기서 주로 쓰이게 되는 사실은 바로 \sigma가 0이든 1이든 (2,1)^{\sigma}=7이 성립한다는 것이다. 따라서 \epsilon=0인 경우 (1,7)^{w\sigma 0}=2(1,7)^w+3(1,7)^{w\sigma}=2(1,7)^{\bar{w}}+3(1,7)^{\sigma \bar{w}}=2(2,1)^{\sigma \bar{w}}+3(1,7)^{\sigma \bar{w}}=(7,23)^{\sigma \bar{w}}=(1,7)^{0\sigma \bar{w}}가 성립한다. 마찬가지로 \epsilon=1인 경우도 해결할 수 있다.

사실 (u,v)^w라는 꼴을 써야할 필요는 없이, 수학적 귀납법을 이용하여 길게 표현할 수 있다. 그러나 저 표현법이 실제로 매우 효율적이고 직관적이다. 결론적으로 풀다보면 결국 푸는 본질적 방향은 다들 비슷함을 알 수 있다. 흥미로운 문제.

(사실 왜 C인진 잘 모르겠다 ㅠ A로 놔도 할 말 없고 N으로 놓으면 조금 의아해도 원래 N에 수열 많으니까 할 말 없지만 C는 흠.. 점화식이라서?)