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2011 JMO

오랜만입니다.

2011년 2월 11일 치뤄진 시험.

1. 예각삼각형 ABC의 변 BC의 중점이 M으로 주어져 있다. ABC의 수심 H에서 AM에 내린 수선의 발을 P라 하자. AM \cdot PM=BM^2임을 증명하여라.

2. a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)을 만족하는 자연수들 (a,n,p,q,r)을 모두 구하여라.

3. A는 일렬로 늘어놓인 N개의 칸에 한 칸당 하나씩 음 아닌 정수들을 써넣는다. A가 어떤 음 아닌 정수를 말할 때마다, B는 N개의 칸 중 하나를 택해 A가 말한 수로 대체한다고 한다. 이 과정을 되풀이하여 이 숫자들이 강증가하면 시행이 끝난다고 한다. A가 어떻게 말하든 B가 이 시행을 끝내는 것이 가능한가?

4. 임의의 실수 x,y \in \mathbb{R}에 대해 f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)를 만족하는 함수 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}을 모두 구하여라.

5. 평면 위에 4개의 점이 주어져 있다. 이들 중 세 개를 택해 만드는 삼각형의 내접원의 반지름들이 모두 같다고 한다. 이 때 이 삼각형들은 모두 합동임을 보여라.

HOP는 조만간 재개할 생각입니다. 그런데 저 혼자 하는 것은 조금 힘들 것 같아 한두 분 정도 도와주실 분을 찾습니다. 조만간 자세한 내용을 올리겠습니다.

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JMO 하계 세미나 문제코너 #38

2010년 9월 10일 갱신된 문제.

n은 양의 정수이다. xy 평면 위에 n^2개의 점 (i,j)가 있어 i,j는 1 이상 n 이하의 정수라 한다. 이 점들 중에서 몇 개에 돌을 놓는다. 다음 조건을 만족해야 할 때, 돌을 놓을 수 있는 점의 개수의 최댓값을 구하여라.
조건: 한 직선 위에 있지 않는 어떤 네 개의 돌도 “좋은 등변 사다리꼴”의 네 꼭지점이 될 수 없다. 여기서 “좋은 등변 사다리꼴”이란, 등변 사다리꼴 (직사각형도 포함) 중에 평행인 두 변이 x축 혹은 y축과 평행한 것이라 한다.

2010 JMO #4

4. 양의 실수 x,y,z에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^2} \geq 1

코시-슈바르츠 부등식으로 (1+xy+xz)(1+\frac{y}{x} + \frac{z}{x}) \geq (1+y+z)^2가 성립하니까
\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1+xy+xz}{(1+y+z)^2} \geq \sum_{cyc} \frac{1}{1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}} = \sum_{cyc} \frac{x}{x+y+z}=1. 끝

등호는 x=y=z=1일 때 성립한다.

2010 JMO #3

3. 2010개의 섬이 있고, 그 섬들을 연결하는 2009개의 다리가 있다. 어떤 두 개의 섬에 대해서도 1개의 다리가 둘을 연결하거나 다리가 없거나 둘 중의 하나라 하고, 다리의 양 끝은 서로 다른 두 개의 섬이라 하자. 또한, 임의의 두 섬을 골라도 한 섬에서 다른 섬으로 다리를 몇 번 건넘으로써 갈 수 있다고 한다.
이제, 모든 섬이 한 통의 편지를 임의의 섬에 보낸다고 한다. (단, 자기 자신에게 편지를 보내는 것도 가능하다.) 이 때, 다음 사실이 판명되었다.
“섬 A와 섬 B가 다리로 연결되어 있으면, 섬 A의 편지의 목적지와 섬 B의 편지의 목적지는 서로 다리로 연결된 두 섬이거나, 같은 섬이다.
이 때, 다음 (1)과 (2) 중 적어도 하나가 성립함을 보여라.
(1) 자기 자신에게 편지를 보낸 섬이 존재한다.
(2) 서로 편지를 교환하고, 다리로 연결되어 있는 두 섬이 존재한다.

그래프로 바꾸면 단순그래프인데 2010개의 점, 2009개의 변을 갖고 있고 연결그래프가 되어야 한다. 곧 이 그래프는 수형도로 회로가 없다. 편의상 도시 X가 편지를 보낸 도시를 f(X)라 하자. 그러면 보여야할 것은 f(X)=XX가 존재함을 보이거나 f(X)=Y,f(Y)=XX,Y가 존재함을 보이면 된다. 귀류법으로 그런 경우가 없음을 가정하자. 그리고 수형도이기 때문에 X에서 f(X)로 가는 경로는 유일하게 존재하는데 그 길이를 d(X)라고 하자.

먼저 임의의 도시 X_0을 택한다. 그리고 d(X_0) \geq 2임을 가정하자. 그러면 X_0에서 f(X_0)으로 가는 경로가 있는데 그 경로에서 X_0 바로 다음 점을 X_1이라 한다. 마찬가지로 X_1에서 f(X_1)으로 가는 경로에서 X_1의 다음 점을 X_2라 하고, 계속 정의한다. 그러면 0 \leq d(X_{i+1})-d(X_i) \leq 2임을 보일 수 있다. 그런데 d(X_{i+1})=d(X_i)인 경우는 X_i에서 f(X_i)까지 이어진 경로 위에 f(X_{i+1})이 없음을 의미한다. 즉 새로운 점이 하나 필요하게 된다. 따라서 d(X_{i+1})=d(X_i)인 경우는 무수히 많이 나올 수 없어서 d(X_i)는 계속 감소해야만 한다. 그러면서도 0이 되어선 안 된다. (d(X_i)=0이면 X_i=f(X_i), 모순) 그러면 언젠가 d(X_n)=1n이 존재하게 된다. (만약 d(X_0)=1이었다면 바로 n=0인 경우로 보면 된다.)

이제 m \geq n인 경우 X_{m+1}=f(X_m)이 되어야 한다. 이 때 앞에서와 비슷한 논의로 계속 새로운 점이 나올 수 없어서 언젠가 f(X_m)=X_m이거나 f(X_m)=X_{m-1}이 되어야 한다. 이는 모순. 끝

풀기 전에 좀 브레인스토밍하다보면 문제가 어떤 의미인지 또 어떤 풀이인지 감은 잡히는데 그걸 표현하는게 다소 짜증나는 문제

2010 JMO #2

2. k를 양의 정수, m을 홀수로 놓는다. 이 때, n^n - m2^k의 배수가 되게 하는 n이 존재함을 보여라.

수학적 귀납법. base case는 자명하고.. 1^1,3^3,\cdots,(2^k-1)^{2^k-1}가 mod 2^k1,3,\cdots,2^k-1이 됨을 가정하자. 임의의 홀수 1 \leq m \leq 2^k-1에 대해 (2^k+m)^{2^k+m} \equiv m^{2^k+m} \equiv m^m\text{ (mod }2^k\text{)}가 된다. (페르마의 정리나 오일러의 정리에 의해 임의의 홀수 x에 대해 x^{2^{k-1}} \equiv 1\text{ (mod }2^k\text{)}가 됨을 확인할 수 있다.) 한 편 (2^k+m)^{2^k+m} = m^{2^k+m} + \binom{2^k+m}{1} m^{2^k+m-1} 2^k + \binom{2^k+m}{2} m^{2^k+m-2} 2^{2k} + \cdots
\equiv m^{2^k+m} + (2^k+m)m^{2^k+m-1} 2^k \equiv m^m + 2^k\text{ (mod }2^{k+1}\text{)}가 되므로 mod 2^k에서 mod 2^{k+1}로 옮겨지는 과정에서 역시 모든 홀수가 나온다. 끝

귀납법 안쓰는 풀이 없을까나.. 한 방에 풀리는 풀이

2010 JMO #1

1. AB \neq AC인 예각삼각형 ABC가 있어 A에서 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P,Q를 세 점 A,B,P와 세 점 A,C,Q가 동시에 이 순서대로 일직선 상이 오게 했더니 네 점 B,C,P,Q가 한 원 위에 있으며 HP=HQ가 성립한다고 한다. 이 때 H는 삼각형 APQ의 외심임을 보여라. 단, XY로 선분 XY의 길이를 표시한다고 한다.

P,Q는 반직선 AB,AC 위에 있도록 한다. B,C,P,Q가 일직선이 되도록 하는 PQ들은 전부 서로 평행하다. 그들에 대해서 PQ의 수직이등분선도 바뀐다. (AB \neq AC이기 때문에) 즉 HP=HQ이며 B,C,P,Q가 한 원 위에 있단 조건을 만족시키는 PQ는 하나. 마찬가지로 HAPQ의 외심이 되는 PQ도 하나 뿐이다. (AH=HP인 것 자체가 A=P 제외하면 하나 뿐이니) 따라서 동일법을 써서 HAPQ의 외심이 되는 경우 B,C,P,Q가 한 원 위에 있음을 보이면 된다. 그런데 이런 경우 AH=HP이고 \angle BAH = \frac{\pi}{2}-B니까 정리하면 AP=2h \sin B가 된다. (h=HA) 마찬가지로 AQ=2h \sin C가 되어 AP \cdot AB = 2hc \sin B = \frac{hbc}{R} = 2hb \sin C = AQ \cdot AC가 된다. (R은 외접원 반지름 길이) 끝

뭐 그냥저냥..

JMO 하계 세미나 문제코너 #37

일본에서는 일본 수학 올림피아드 하계 세미나 문제코너란 것이 있어서 온라인으로 문제를 출제하고 그 답안을 걷어 채점을 한다. 다음은 2010년 8월 10일 갱신된 내용.

n을 양의 정수라 하고, 0 이상 n 미만인 정수 전체의 집합을 A라 하자. f:A \longrightarrow A이며 임의의 m \in A에 대해 f(m)=\# f^{-1}(m)을 만족하는 함수 f의 개수를 구하여라. 단, f^{-1}(m)A의 원소 k 중에 f(k)=m을 만족하는 원소들의 집합이다. 또한, 집합 X에 대해 \#XX의 원소의 개수를 뜻한다.