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2011 RMM

2011년 2월 25일~26일동안 치뤄진 시험. 하루에 3문제, 4시간 반.

Day 1: 2/25

1. f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}가 존재하여 f \circ g는 강감소하고 g \circ f가 강증가하게 할 수 있음을 보여라.

2. 다음 조건들을 만족하는 실수 계수 다항식이 존재하게 하는 양의 정수 n들을 모두 구하여라.
(1) 각각의 정수 k에 대해, f(k)가 정수임과 kn의 배수가 아님이 동치이다.
(2) f의 차수가 n보다 작다.

3. 삼각형 ABC는 원 w에 내접하고 있다. 움직이는 직선 l이 변 BC와 평행하며 선분 AB,ACD,E에서 만난다고 한다. 또한 w와는 K,L에서 만나며 DK,E 사이에 놓인다고 한다. 원 \gamma_1은 선분 KD,BDw에 접하며, \gamma_2는 선분 LE,CEw에 접한다. l이 움직일 때 \gamma_1,\gamma_2의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.

Day 2: 2/26

4. 주어진 양의 정수 n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}에 대해, n의 소인수의 개수를 중복하며 센 숫자 \sum_{i=1}^s \alpha_i\Omega(n)으로 정의하자. \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}으로 정의하자. (예를 들어 \lambda(12)=\lambda(2^2 \cdot 3^1) = (-1)^{2+1}=-1이다.)
이 때 다음을 증명하여라:
i) \lambda(n)=\lambda(n+1)=+1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.
ii) \lambda(n)=\lambda(n+1)=-1인 양의 정수 n이 무수히 많이 존재함을 보여라.

5. 모든 n \geq 3에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 서로 다른 n개의 점들 X_1,\cdots,X_n의 위치를 모두 구하여라: 임의의 서로 다른 두 점 X_i,X_j에 대해 \{1,2,\cdots,n\}의 순열 \sigma가 존재하여 모든 1 \leq k \leq n에 대해 d(X_i,X_k)=d(X_j,X_{\sigma(k)})가 성립한다. (d(X,Y)는 두 점 X,Y 사이의 거리이다.)

6. 2011 \times 2011 모양의 칸에 숫자들 1,2,\cdots,2011^2이 한 칸에 하나씩 써 있다. 이제 왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙이고, 위쪽 변과 아래쪽 변을 붙여 토러스처럼 만들자. (토러스는 도넛의 표면과 같은 모양이다.) 어떻게 숫자들을 칸들에 써넣더라도 서로 인접한 두 칸이 있어 그들에 쓰인 수의 차이가 최소 M이 되게 하는 양의 정수 M의 최댓값을 구하여라. (두 칸 (x,y),(x',y')가 인접하는 것은 x=x'이고 y-y' \equiv \pm 1 (mod 2011)이거나 y=y'이고 x-x' \equiv \pm 1 (mod 2011)일 때이다.)

2010 RMM #3

방금 올린 2010 RMM의 3번 문제. 나름 첫날 3번 포지션인데 저거 올리고 좀 풀어보니 바로 풀렸다. 아직 내 두뇌는 열려있어!!

어떤 두 변도 평행이 아닌 볼록사각형 A_1A_2A_3A_4가 주어져 있다. 임의의 i=1,2,3,4에 대해, 원 w_i가 사각형과 외접하며 직선 A_{i-1}A_i,A_iA_{i+1},A_{i+1}A_{i+2}와 접한다고 한다. (첨자는 mod 4로 따져서 A_0=A_4,A_5=A_1,A_6=A_2가 성립한다.) w_iA_iA_{i+1}의 접점을 T_i라 하자. 이 때 직선 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 직선 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3가 한 점에서 만남과 동치임을 보여라.

먼저 A_1A_2와는 T_1에서 접하고 A_3A_4와도 접하는 원 w를 잡는다. 그 원이 A_3A_4와 접하는 점을 T_3'이라 한다. 그러면 w_1,w의 내적 닮음 중심(공통내접선의 교점이기도 하며, 이 점을 중심으로 음수배 확대변환을 하면 두 원이 서로 대응된다.)은 T_1, w_1,w_3의 외적 닮음 중심은 A_2A_3 \cap A_4A_1이며 w,w_3의 내적 닮음 중심은 두 원의 공통내접선의 교점으로 직선 A_3A_4 위에 있다. Monge-d’Alembert’s Theorem에 의해, 이 세 점은 한 직선 위에 있게 된다.

따라서 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3이 한 점에서 만난다면 T_3A_2A_3 \cap A_4A_1T_1을 연결한 직선이 A_3A_4와 만나는 점이 되는데, 이게 바로 w,w_3의 내적 닮음 중심이 된다. 따라서 w,w_3은 점 T_3에서 접해야 하고 그 역이 성립한다. 곧, A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3이 한 점에서 만나는 것과, 어떤 원이 있어 A_1A_2T_1에서, A_3A_4T_3에서 접함이 동치가 된다.

이를 식으로 표현하는 것은 간단하다. A_2A_3 \cap A_4A_1=X, A_1A_2 \cap A_3 A_4=Y라 하고 일반성을 잃지 않고 A_1X,A_4 사이에 놓이고 A_2Y,A_1 사이에 놓인다고 하자. 그러면 이 조건은 YT_1=YT_3과 동치가 되고, 이를 위해 A_1A_2=a, A_2A_3=b, A_3A_4=c, A_4A_1=d, A_1X=a_1, A_2X=a_2, A_2Y=b_1, A_3Y=b_2라 하면 a+b+2(b_1-b_2)=c+d+2(a_1-a_2)와 동치가 된다.

한 편 마찬가지로 하면 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 XT_2=XT_4와 동치가 되는데, 이것도 식으로 표현하면 a+b+2(b_1-b_2)=c+d+2(a_1-a_2)와 동치가 된다. 따라서, 둘은 동치이다.

저 Monge-d’Alembert의 정리는 의외로 유용하게 쓰인다. 2008년 KMO의 한 문제도 한 방에 해결되고..

2010 RMM

2010 Romanian Master of Mathematics Competition이란 올림피아드. 루마니아에서 열리는데 다른 나라들도 참가하는 대회이다. 시험은 2010년 2월 26일~27일에 열렸다. (각각 4시간 30분. IMO와 똑같음)

1. 유한 개의 소수의 집합 P에 대해, P의 원소 중 적어도 하나의 약수를 갖는 연속한 자연수의 개수의 최댓값을 m(P)이라 하자.
(i) |P| \leq m(P)임을 보이고, 등호가 성립할 필요충분조건은 \min(P)>|P|임을 보여라.
(ii) m(P) < (|P|+1)(2^{|P|}-1)임을 보여라.
(|P|는 집합 P의 원소의 개수이다.)

2. 양의 정수 n에 대해, 다음 조건을 만족하는 최대의 실수 C_n을 구하여라. 임의의 주어진 n개의 실수값을 갖는 함수 f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)가 폐구간 0 \leq x\leq 1에서 정의되며, 0 \leq x_i \leq 1이며 |f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots+f_n(x_n)-x_1x_2 \cdots x_n| \geq C_n이 성립하도록 x_1,\cdots,x_n을 찾을 수 있다.

3. 어떤 두 변도 평행이 아닌 볼록사각형 A_1A_2A_3A_4가 주어져 있다. 임의의 i=1,2,3,4에 대해, 원 w_i가 사각형과 외접하며 직선 A_{i-1}A_i,A_iA_{i+1},A_{i+1}A_{i+2}와 접한다고 한다. (첨자는 mod 4로 따져서 A_0=A_4,A_5=A_1,A_6=A_2가 성립한다.) w_iA_iA_{i+1}의 접점을 T_i라 하자. 이 때 직선 A_1A_2,A_3A_4,T_2T_4가 한 점에서 만남은 직선 A_2A_3,A_4A_1,T_1T_3가 한 점에서 만남과 동치임을 보여라.

4. 다음을 만족하는 정수계수 이변수 다항식 f(x_1,x_2)와 평면 위의 두 점 A=(a_1,a_2),B=(b_1,b_2)가 존재하는지 판별하여라.
(i) A는 격자점이다. (즉 a_1,a_2는 정수이다.)
(ii) |a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010
(iii) A가 아닌 다른 격자점 (n_1,n_2)에 대해 f(n_1,n_2)>f(a_1,a_2)
(iv) B가 아닌 다른 점 (x_1,x_2)에 대해 f(x_1,x_2)>f(b_1,b_2)

5. 양의 정수 n이 주어져 있다. 만약 평면 위의 격자점의 집합 K에 대해 다음 조건을 만족시키면 K를 연결된 집합이라 부르자: 임의의 점 R,S \in K에 대해 양의 정수 lK의 원소의 나열 R=T_0,T_1,\cdots,T_l=S가 있어 T_iT_{i+1}과의 거리가 1이 되게 할 수 있다. 그런 집합 K에 대해, 벡터의 집합 \Delta(K)=\{ \vec{RS} | R,S \in K \}을 정의한다. 이 때 평면 위의 2n+1개의 격자점을 갖는 연결된 집합 K들에 대해 |\Delta(K)|의 최댓값을 구하여라.

6. 차수가 d \geq 2인 주어진 유리계수 다항식 f(x)에 대해, 집합 f^0(\mathbb{Q}),f^1(\mathbb{Q}),\cdotsf^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^n(\mathbb{Q}))로 정의하자. (n \geq 0) (여기서 집합 S에 대해 f(S)\{ f(x) | x \in S \}로 정의한다.)
f^{\omega}(\mathbb{Q}) = \cap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})를 모든 집합 f^n(\mathbb{Q})에 속하는 수들의 집합으로 잡는다. 이 때 f^{\omega}(\mathbb{Q})는 유한집합임을 보여라.